本节定位：最值问题的“深水区”。相比基础的最不利原则和简单数列构造，进阶题型侧重于处理“多集合交集的最值”和“复杂条件约束下的数列构造”。掌握本节内容后，能让你在面对“至少...都...”这类绕口令般的题目时迅速突破。
一、考点概述
1. 什么是进阶最值问题？
进阶最值问题主要包括两大类：
- 多集合反向构造（容斥极值）：在多个集合中，求它们共同交集的最小值。如“四门课都及格的至少有多少人”。
- 复杂数列构造：在平均数、极值、比例等多重约束下，求某项的最大/最小值。如“排名第三的最少得多少分”。
2. 考查频率与难度
| 考试类型 | 出现频率 | 难度定位 |
|---|---|---|
| 国考 | 中 | 中等偏难（差异化考题） |
| 联考/省考 | 中 | 中等（有时作为拉分题） |
| 事业单位 | 较低 | 中等 |
3. 为什么要学？
- 拉分利器：多集合反向构造是许多考生的知识盲区，掌握后可以轻松拿下这类题目。
- 方法固定：“反向→求和→作差”三步法适用于所有多集合最值问题。
- 计算简单：一旦掌握方法，计算量很小，属于“会就秒杀”的题型。
二、常见设问方式
1. 多集合反向构造类（关键词：都、全部、共同）
- “三人共同借阅过的杂志最少有多少本？”（高频题）
- “四款软件都使用过的至少有多少人？”（中档题）
- “三项比赛都观看过的至少有多少人？”（百分数变体）
- “甲、乙、丙三人均检测过的电脑至少有多少台？”（区间变体）
2. 复杂数列构造类（关键词：平均、约束、排名）
- “平均装62吨，最重71吨，最轻54吨，问第三重的最少装多少？”（中档题）
- “参加人数最多的活动不超过最少的2倍，问最少的至少多少人？”（陷阱问法）
- “前5名平均分115分，各不相同，满分120，问第三名至少得多少分？”（中档题）
三、解题思路总览
题型分类与核心方法
| 题型 | 特征关键词 | 核心方法 | 记忆口诀 |
|---|---|---|---|
| 多集合反向构造 | “都…的至少有多少” | 反向→求和→作差 | “不满足的加起来，再用总数减” |
| 复杂数列构造 | “平均+极值+排名” | 排序→定位→反向构造→求和 | “求小让大，严守约束” |
| 倍数约束构造 | “最多不超过最少的N倍” | 设最小为x，最大为Nx，求和 | “设小推大，列式求解” |
多集合反向构造详解
适用场景：求“全部满足的至少有多少”（如“四门科目都喜欢的最少人数”）。
核心思维：想要让“都满足”的人最少，就要让“不满足”的人尽可能多，且尽可能不重叠。
操作步骤（三步法）：
- 反向：算出每个条件“不满足”的人数。
（不A = 总 - A，不B = 总 - B...） - 求和：将所有“不满足”的人数相加。
（$\Sigma = \text{不A} + \text{不B} + \dots$） - 作差：用总数减去不满足的总和。
（$\text{结果} = \text{总数} - \Sigma$）
速算公式：
- $n$ 个集合都满足的最少 = $A_1 + A_2 + \cdots + A_n - (n-1) \times U$（$U$为总数）
- 两集合：$A + B - U$
- 三集合：$A + B + C - 2U$
- 四集合：$A + B + C + D - 3U$
复杂数列构造详解
适用场景：总量固定 + 多重约束（平均数、极值、各不相同等），求某项最值。
操作步骤：
- 计算总量：平均数 × 个数 = 总量。
- 排序定位：根据大小关系排序，明确已知极值的位置。
- 反向构造：
- 求最小：让其他项尽可能大（但不超过约束）。
- 求最大：让其他项尽可能小（但不低于约束）。
- 列式求解：根据总量列方程，求解 $x$。
注意事项：
- 严格遵守大小关系：$C_1 > C_2 > C_3 > ...$。
- “各不相同”时，相邻项至少差1。
- 结果需验证是否满足所有约束。
四、典型题型拆分 + 例题精讲
题型一：多集合反向构造（标准型）
核心原理：要让“都满足”的最少，就要让“不满足”的人完全不重叠。
【例1】
阅览室有100本杂志。小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有（ ）本。
A.5 B.10 C.15 D.30
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解析：
- 反向：先求每人未借阅的数量。
- 小赵未借：$100 - 75 = 25$ 本
- 小王未借：$100 - 70 = 30$ 本
- 小刘未借：$100 - 60 = 40$ 本
- 求和：假设三人未借的杂志完全不重复，“不都借阅”的最多 = $25 + 30 + 40 = 95$ 本。
- 作差：“都借阅”的最少 = $100 - 95 = 5$ 本。
公式验算：$75 + 70 + 60 - 2 \times 100 = 205 - 200 = 5$ ✓
答案：A
【例2】
一小偷藏匿于某商场，三名保安甲、乙、丙分头行动搜查商场的100家商铺。已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，则三人都检查过的商铺至少有多少家？
A.5 B.10 C.20 D.30
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解析：
- 反向：先求每人未检查的数量。
- 甲未查：$100 - 80 = 20$ 家
- 乙未查：$100 - 70 = 30$ 家
- 丙未查：$100 - 60 = 40$ 家
- 求和：“不都检查”的最多 = $20 + 30 + 40 = 90$ 家。
- 作差：“都检查”的最少 = $100 - 90 = 10$ 家。
公式验算：$80 + 70 + 60 - 2 \times 100 = 210 - 200 = 10$ ✓
答案：B
题型二：多集合反向构造（百分数型）
核心原理：先把百分数转换为“不满足”的百分比，再求和作差，最后转换为人数。
【例3】
某机构对全运会收视情况进行调查，在1000名受访者中，观看过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：
A.310人 B.440人 C.620人 D.690人
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解析：
- 反向：先求每项未观看的百分比。
- 未看乒乓球：$100\% - 87\% = 13\%$
- 未看跳水：$100\% - 75\% = 25\%$
- 未看田径：$100\% - 69\% = 31\%$
- 求和：“不都观看”的最多 = $13\% + 25\% + 31\% = 69\%$。
- 作差：“都观看”的最少 = $100\% - 69\% = 31\%$。
- 转换人数：$1000 \times 31\% = 310$ 人。
公式验算：$870 + 750 + 690 - 2 \times 1000 = 2310 - 2000 = 310$ ✓
答案：A
【例4】
班级有48人，喜欢数学38人、语文35人、英语42人、物理40人。至少有多少人四科都喜欢？
A.7 B.9 C.11 D.13
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解析：
- 反向：先求每科不喜欢的人数。
- 不喜欢数学：$48 - 38 = 10$ 人
- 不喜欢语文：$48 - 35 = 13$ 人
- 不喜欢英语：$48 - 42 = 6$ 人
- 不喜欢物理：$48 - 40 = 8$ 人
- 求和：“不都喜欢”的最多 = $10 + 13 + 6 + 8 = 37$ 人。
- 作差：“都喜欢”的最少 = $48 - 37 = 11$ 人。
公式验算：$38 + 35 + 42 + 40 - 3 \times 48 = 155 - 144 = 11$ ✓
答案：C
题型三：复杂数列构造（平均数+极值约束）
核心原理：在总量固定、极值已知的情况下，通过反向构造其他项，求某项的最值。
【例5】
从某物流园区开出6辆货车，这6辆货车的平均装货量为62吨。已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71吨，最轻的装载了54吨。问这6辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨？
A.59 B.60 C.61 D.62
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解析：
- 计算总量：$62 \times 6 = 372$ 吨。
- 排序定位：$C_1(71) > C_2 > C_3(x) > C_4 > C_5 > C_6(54)$，求 $x$ 的最小值。
- 反向构造：要让 $C_3$ 最小，其他车要尽可能大。
- $C_2$ 最大 = $71 - 1 = 70$（必须比 $C_1$ 小）。
- $C_4$ 最大 = $x - 1$，$C_5$ 最大 = $x - 2$（必须比 $C_3$ 小且各不相同）。
- 列式求和：
$71 + 70 + x + (x-1) + (x-2) + 54 = 372$
$192 + 3x = 372 \Rightarrow x = 60$。 - 验证：数列为 71, 70, 60, 59, 58, 54，各不相同且在约束范围内 ✓
答案：B
【例6】
100名学生参加5项活动，人数最多的活动不超过人数最少的活动的2倍。问参加人数最少的活动至少有多少人参加？
A.10 B.11 C.12 D.13
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解析：
- 设未知数：设人数最少的活动有 $x$ 人，则最多的不超过 $2x$ 人。
- 反向构造：要让 $x$ 最小，其他活动人数要尽可能大，即都取 $2x$。
- 列式求和：
$x + 2x + 2x + 2x + 2x = 100$
$9x = 100 \Rightarrow x = 11.11...$ - 取整：问“至少”，向上取整 → 12人。
验证：$x=12$ 时，最多不超过24，总人数 = $12 + 24 \times 4 = 108 > 100$，可调整为 $12+22+22+22+22=100$ ✓
答案：C
五、高频易错点与命题陷阱
| 易错点 | 错误示范 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 反向后忘了作差 | 算出“不满足的总和”95，直接选了95 | 最后必须用总数减去不满足的总和 |
| 公式套用错误 | 四集合用$A+B+C+D-2U$ | $n$个集合的公式是 $\sum A_i - (n-1)U$，四集合用$-3U$ |
| 数列构造时忽略大小关系 | 为了让$C_3$小，把$C_4,C_5$设得比$C_3$大 | 严格遵守排序链 $C_1>C_2>C_3>C_4>C_5>C_6$ |
| 忽略“各不相同”条件 | 构造时让相邻项相等 | “各不相同”时相邻项至少差1 |
| 倍数约束理解错误 | “不超过2倍”理解为“恰好2倍” | “不超过N倍”意味着最大取Nx |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 多集合反向构造：反向→求和→作差。公式：$n$个集合都满足的最少 = $\sum A_i - (n-1)U$。
- 复杂数列构造：排序→定位→反向构造→求和。严格遵守大小约束。
- 倍数约束：“不超过N倍”时，设最小为x，最大取Nx，列式求解。
- 取整规则：问“最少”向上取整，问“最多”向下取整。
- 验证结果：得出答案后代入验证，确保满足所有约束。
刷题建议
基础巩固（推荐10-15题）：
- 2013-2018年联考/省考真题
- 重点练习：三集合反向构造题（“三人共同...的最少”）
强化提升（推荐8-10题）：
- 国考/江苏真题（四集合+百分数变体）
- 复杂数列构造题（平均数+极值+倍数约束）
刷题顺序：
- 先做三集合反向构造题（掌握基本方法）
- 再做四集合+百分数变体（强化公式应用）
- 最后做复杂数列构造题（练习多重约束处理）
温馨提示：进阶最值问题看似复杂，但方法固定。建议把“反向→求和→作差”三步法练到条件反射，考试中遇到“都...的至少”类题目时能够快速突破。