本节定位：数量关系中的“极限思维”。最值问题主要考查考生在极端条件下的推理能力。掌握“最不利原则”、“数列构造”和“多集合反向构造”三大核心方法，能让你在看似复杂的“至少/至多”描述中迅速找到突破口。
一、考点概述
1. 什么是最值问题？
凡是题目或问法中出现“最多”、“最少”、“至少”、“至多”、“保证”、“一定”等字眼，都属于最值问题。核心是在极端条件下寻找边界值。
2. 考查频率与难度
| 考试类型 | 出现频率 | 难度定位 |
|---|---|---|
| 国考 | 高 | 中等（常见必考） |
| 联考/省考 | 高 | 中等（高频考点） |
| 事业单位 | 较高 | 基础-中等 |
3. 为什么要学？
- 高频必考：几乎每套真题都有最值问题，且解法固定，属于“送分题”。
- 方法通用：掌握三大核心方法后，可以套用到几乎所有最值题型。
- 计算量小：与工程、行程等题型相比，最值问题更侧重逻辑推理，计算量较小。
二、常见设问方式
1. 最不利原则类（关键词：保证、一定）
- “至少取出多少个，才能保证有N个相同？”（基础题）
- “至少抽取多少样本，才能保证有4人报名完全相同？”（中档题）
- “无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同，问至少有多少名党员？”（陷阱问法）
2. 数列构造类（关键词：排名、最多/最少）
- “得到书最多的人至少得多少本？”（高频题）
- “一个抽奖箱最多可以放多少个奖品？”（基础题）
- “排名第三的至少得多少分？”（中档题）
- “排名最后的城市最多有几家？”（中档题）
3. 多集合反向构造类（关键词：都、全部）
- “三人共同借阅过的杂志最少有多少本？”（高频题）
- “四款软件都使用过的至少有多少人？”（中档题）
三、解题思路总览
题型分类与核心方法
| 题型 | 特征关键词 | 核心方法 | 记忆口诀 |
|---|---|---|---|
| 最不利原则 | “至少…才能保证…” | 最不利情况 + 1 | “最倒霉加1” |
| 数列构造 | “排名第x的最多/少…” | 排序→定位→反向构造→求和 | “求大让小，求小让大” |
| 多集合反向构造 | “都…的至少有多少” | 反向→求和→作差 | “不满足的加起来，再用总数减” |
最不利原则详解
适用场景：要求“至少取多少个，才能保证有N个相同/满足某条件”。
操作步骤：
- 找最不利：找到“最倒霉”的情况（差一点就成功）。
- 加1：结果 = 最不利情况 + 1。
思维核心：“想要什么，偏不给你什么”。想要红球，就先把所有非红球拿光。
数列构造详解
适用场景：总量固定，求某一项的最大值或最小值。
操作步骤：
- 排序：将各项从大到小排列。
- 定位：设所求项为 $x$。
- 反向构造：
- 求最大：让其他项尽可能小。
- 求最小：让其他项尽可能大。
- 求和：列方程求解 $x$。
取整规则（极其重要！）：
- 问“最少”：向上取整（如6.2 → 7）
- 问“最多”：向下取整（如6.8 → 6）
多集合反向构造详解
适用场景：求“全部满足的至少有多少”（如“四门科目都喜欢的最少人数”）。
操作步骤：
- 反向：先求每项不满足的数量。
- 求和：假设不满足的人无重复，全部加起来。
- 作差：总数 - 不满足的总数 = 都满足的最少人数。
公式速记：
- $n$ 个集合都满足的最少 = $A_1 + A_2 + \cdots + A_n - (n-1) \times U$（$U$为总数）
四、典型题型拆分 + 例题精讲
题型一：最不利原则（抽屉原理）
核心原理：“保证数” = “最不利数” + 1。最不利就是“与成功一线之差”的情况。
【例1】
某会展中心布置会场，从花卉市场购买郁金香、月季花、牡丹花三种花卉各20盆。问至少要搬出多少盆花卉才能保证搬出的鲜花中一定有郁金香？
A.20盆 B.21盆 C.40盆 D.41盆
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解析：
- 找最不利情况：想拿郁金香，但运气极差，先把月季和牡丹全搬光了。
最不利 = 20（月季） + 20（牡丹） = 40 盆。 - 加1：再搬1盆，必然是郁金香。
结果 = 40 + 1 = 41盆。
答案：D
【例2】
某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员？
A.17 B.21 C.25 D.29
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解析：
- 计算组合数：从4项培训中选2项，共有 $C_4^2 = 6$ 种不同组合。
- 找最不利情况：每种组合最多4人，则最不利情况 = $6 \times 4 = 24$ 人。
- 加1：再多1人，必然有某种组合达到5人。
结果 = 24 + 1 = 25名。
答案：C
题型二：数列构造（求某项最值）
核心原理：总量固定时，要让某项最大，其他项要尽可能小；要让某项最小，其他项要尽可能大。
【例3】
现有21本故事书要分给5个人阅读，如果每个人得到的数量均不相同，那么得到故事书数量最多的人至少可以得到（ ）本。
A.5 B.7 C.9 D.11
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解析：
- 排序定位：设最多的人得 $x$ 本，则其他4人得书数比他少且各不相同。
- 反向构造：要让最多的人“至少”得多少，其他4人要尽可能大。
构造数列：$x, x-1, x-2, x-3, x-4$。 - 列式求和：
$x + (x-1) + (x-2) + (x-3) + (x-4) = 21$
$5x - 10 = 21 \Rightarrow x = 6.2$。 - 取整：问“至少”，向上取整 → 7本。
验证：若取紧密数列 $7,6,5,4,3$，和为25 > 21，说明够分（实际可分配为 $7,6,5,2,1 = 21$）。
答案：B
【例4】
某大型跨国连锁零售企业在世界8个城市共76家超市，每个城市的超市数量都不相同。如果超市数量排名第四的城市有10家超市，那么超市数量排名最后的城市最多有几家超市？
A.3 B.4 C.5 D.6
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解析：
- 排序定位：$C_1 > C_2 > C_3 > C_4(10) > C_5 > C_6 > C_7 > C_8$，求 $C_8$ 的最大值，设为 $x$。
- 反向构造：要让 $C_8$ 最大，其他城市要尽可能小。
- $C_1, C_2, C_3$ 必须 > 10，最小取 13, 12, 11。
- $C_5, C_6, C_7$ 必须在 $(x, 10)$ 之间且互不相等。为使 $x$ 最大，这三项应尽可能小，故取 $x+3, x+2, x+1$。
- 列式求和：
$13+12+11+10 + (x+3) + (x+2) + (x+1) + x = 76$
$46 + 4x + 6 = 76 \Rightarrow x = 6$。
答案：D
【例5】
某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100分。有5位员工的平均分为90分，而且他们的分数各不相同，其中分数最低的员工得分为77分，那么排第二名的员工至少得多少分？
A.90 B.92 C.94 D.96
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解析：
- 计算总分：$90 \times 5 = 450$ 分。
- 排序定位：设第二名得分为 $x$，则第一名 > $x$，第三、四名 < $x$，第五名 = 77。
- 反向构造：要让第二名“至少”，其他人要尽可能大。
- 第一名最大 = 100 分。
- 第三名最大 = $x - 1$，第四名最大 = $x - 2$。
- 列式求和：
$100 + x + (x-1) + (x-2) + 77 = 450$
$3x + 174 = 450 \Rightarrow x = 92$。
答案：B
题型三：多集合反向构造
核心原理：要让“都满足”的人数最少，就要让“不满足”的人数最多，即假设不满足的人完全不重叠。
【例6】
阅览室有100本杂志。小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有（ ）本。
A.5 B.10 C.15 D.30
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解析：
- 反向：先求每人未借阅的数量。
- 小赵未借：$100 - 75 = 25$ 本
- 小王未借：$100 - 70 = 30$ 本
- 小刘未借：$100 - 60 = 40$ 本
- 求和：假设三人未借的杂志完全不重复，则“不都借阅”的最多 = $25 + 30 + 40 = 95$ 本。
- 作差：“都借阅”的最少 = $100 - 95 = 5$ 本。
公式验算：$75 + 70 + 60 - 2 \times 100 = 205 - 200 = 5$ ✓
答案：A
【例7】
某机构对全运会收视情况进行调查，在1000名受访者中，观看过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：
A.310人 B.440人 C.620人 D.690人
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解析：
- 反向：先求每项未观看的人数。
- 未看乒乓球：$1000 \times (1-87\%) = 130$ 人
- 未看跳水：$1000 \times (1-75\%) = 250$ 人
- 未看田径：$1000 \times (1-69\%) = 310$ 人
- 求和：假设未观看的人完全不重复，“不都观看”的最多 = $130 + 250 + 310 = 690$ 人。
- 作差：“都观看”的最少 = $1000 - 690 = 310$ 人。
公式验算：$870 + 750 + 690 - 2 \times 1000 = 2310 - 2000 = 310$ ✓
答案：A
五、高频易错点与命题陷阱
| 易错点 | 错误示范 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 忽略“各不相同”条件 | 构造数列时写成 $x, x, x...$ | 看清题目要求！若“各不相同”，必须构造 $x, x-1, x-2...$ |
| 最不利情况找错 | 问“保证有红球”，把红球也算进最不利 | 最不利 = “想要什么，偏不给你什么”，先把非红球全拿光 |
| 取整方向错误 | 算出6.2，问“最少”取了6 | 问“最少”向上取整（取7）；问“最多”向下取整 |
| 多集合计算错误 | 直接用容斥公式求交集 | 求“都满足的最少”用反向构造：反向→求和→作差 |
| 构造起点错误 | 构造数列从0开始 | 注意题目条件！若“每人至少得1本”，最小项从1开始 |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 最不利原则：保证数 = 最不利数 + 1。口诀：“最倒霉加1”。
- 数列构造：排序→定位→反向构造→求和。口诀：“求大让小，求小让大”。
- 多集合反向构造：反向→求和→作差。公式：$n$个集合都满足的最少 = $\sum A_i - (n-1) \times U$。
- 取整规则：问“最少”向上取整，问“最多”向下取整。
- 构造原则：注意“各不相同”和“至少得1个”等隐含条件。
刷题建议
基础巩固（推荐15-20题）：
- 2012-2018年联考/省考真题
- 重点练习：数列构造类（“排名第x的最值”）
强化提升（推荐10-15题）：
- 国考真题（组合数+最不利原则）
- 多集合反向构造题（“都喜欢的最少人数”）
刷题顺序：
- 先做基础最不利原则题（认清“保证”关键词）
- 再做数列构造题（练习“求大让小、求小让大”）
- 最后做多集合反向构造题（掌握公式应用）
温馨提示：最值问题套路性强，属于“送分题”。建议将三类方法的解题步骤背熟，考试中看到关键词后直接套用，可以在2分钟内稳拿这类题目。