本节定位：如果说基础几何是“套公式”，那么进阶几何就是“玩模型”。本节聚焦于最短路径、立体切割染色及几何构造等高阶考点。这类题目在国考地市级和部分省考中属于“拉分题”，掌握特定模型可实现秒杀。
一、考点概述
1. 什么是进阶几何？
进阶几何不再单纯考查面积体积公式的计算，而是侧重于：
- 空间想象力：如立体图形的展开、旋转、切割。
- 极限思维：如最短路径、面积最值。
- 模型识别：如“将军饮马”、“蚂蚁爬行”、“立方体染色”。
2. 考查频率与难度
| 考试类型 | 出现频率 | 难度定位 |
|---|---|---|
| 国考（副省/地市） | 中 | 中等偏难（主要难在模型识别） |
| 联考/省考 | 中 | 中等（作为差异化考题） |
3. 为什么要学？
- 套路固定：虽然看似难，但“将军饮马”等模型一旦掌握，解题步骤完全固定。
- 避坑指南：立体图形展开路径选择等陷阱较多，系统学习能避免“想当然”的错误。
二、常见设问方式
- 最短路径类：“从A点出发沿表面爬行到B点，最短距离是多少？”
- 切割拼接类：“切去一个角后，表面积增加了多少？”、“拼成一个大长方体，表面积减少了多少？”
- 染色计数类：“切成n个小正方体，其中两面涂色的有多少个？”
- 几何构造类：“用篱笆围成矩形，最大面积是多少？”
三、解题思路总览
核心思维：化归与模型
第一步：识别模型
- 看到“面上爬行”、“河边取水” → 最短路径模型
- 看到“切小块”、“堆积木” → 切割染色模型
- 看到“最大面积”、“最长距离” → 几何最值模型
第二步：降维打击
- 立体转平面：将立体图形侧面展开，把曲线变为直线。
- 不规则转规则：利用割补法或容斥原理处理复杂图形。
第三步：计算验证
- 利用勾股定理计算距离。
- 利用枚举法或公式验证计数。
四、典型题型拆分 + 例题精讲
题型一：最短路径问题（展开+勾股）
1. 平面模型：将军饮马（河边取水）
原理：两点之间线段最短。作对称点，化折为直。
【例1】经典模拟题
如图，直线L代表一条河流，点A和点B在河流同侧。A到河边的垂直距离为3km，B到河边的垂直距离为5km，A、B两点的水平距离为6km。现要从A点走到河边取水，再走到B点，问最短路程是多少？
A.8 B.10 C.12 D.14
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解析：
- 作对称：作点A关于河流L的对称点A'。则A'到河边的垂直距离也为3km。
- 连线：连接A'B，与河流L的交点即为取水点。此时 $PA + PB = PA' + PB = A'B$ 最短。
- 构造直角三角形：
- 水平直角边 = 6km。
- 竖直直角边 = A'到河边距离 + B到河边距离 = 3 + 5 = 8km。
- 勾股定理：$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$。
答案：B
2. 立体模型：蚂蚁爬行
原理：将立体表面展开为平面，连接两点。
【例2】
一个长方体木块，长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm。一只蚂蚁从一个顶点A出发，沿表面爬行到对角顶点B，问最短路径是多少？
A.$\sqrt{29}$ B.$\sqrt{41}$ C.$\sqrt{53}$ D.9
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解析：
- 展开方式：长方体展开有多种方式，路径取决于哪两面相邻展开。
- 路径1（跨越“长+宽”）：直角边为 $(4+3)$ 和 $2$。距离 $\sqrt{7^2 + 2^2} = \sqrt{53}$。
- 路径2（跨越“长+高”）：直角边为 $(4+2)$ 和 $3$。距离 $\sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45}$。
- 路径3（跨越“宽+高”）：直角边为 $(3+2)$ 和 $4$。距离 $\sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$。
- 比较：$\sqrt{41} < \sqrt{45} < \sqrt{53}$。
- 结论：最短路径为 $\sqrt{41}$。
技巧结论：对于长方体（长a > 宽 b > 高c），最短路径一定是由最长边单独作一条直角边，另外两条短边之和作另一条直角边构成。即 $\text{距离} = \sqrt{a^2 + (b+c)^2}$。（本题中 $\sqrt{4^2 + (3+2)^2} = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}$）
答案：B
题型二：立体切割与染色
【例3】
将一个表面积为54平方厘米的正方体切割成若干个体积相等的小正方体，切了3刀（横竖纵各一刀）。问所有小正方体的表面积之和是多少？
A.54 B.81 C.108 D.162
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解析：
- 分析切割：横竖纵各切一刀，相当于把大正方体切成了 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 个小正方体。
- 面积变化原理：每切一刀，增加 2 个切面（即 2 个大正方形面）。
- 切3刀，共增加 $3 \times 2 = 6$ 个大面。
- 原表面积：大正方体有 6 个面，面积为 54。则每个面面积 = $54 \div 6 = 9$。
- 新表面积：原表面积 + 增加面积 = $54 + 6 \times 9 = 54 + 54 = 108$。
- 倍数关系法（秒杀）：
- 棱长变为原来的 1/2，小正方体表面积是原来的 1/4。
- 共有 8 个小正方体。
- 总面积 = $54 \times \frac{1}{4} \times 8 = 108$。
答案：C
题型三：几何构造（最值）
【例4】
用30米长的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形花圃，问围成的花圃面积最大是多少平方米？
A.100 B.112.5 C.125 D.150
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解析：
- 设未知数：设垂直于墙的边长为 $x$，则平行于墙的边长为 $30 - 2x$（因为只有三边围篱笆）。
- 列面积公式：$S = x(30 - 2x) = -2x^2 + 30x$。
- 求极值：这是一个开口向下的二次函数。当 $x = -b/(2a) = -30 / (2 \times -2) = 7.5$ 时取最大值。
- 计算面积：$S = 7.5 \times (30 - 15) = 7.5 \times 15 = 112.5$。
- 口诀秒杀：“宽是长的一半”时面积最大。即平行于墙的边长（长）等于总篱笆长的一半（15米），垂直于墙的边长（宽）是其一半（7.5米）。
答案：B
五、高频易错点与命题陷阱
| 易错点 | 说明与应对 |
|---|---|
| 蚂蚁爬行路径漏选 | 错误：只算了一种展开情况。 应对：长方体通常有3种展开路径，记得结论：$\sqrt{\text{最长边}^2 + (\text{短边1}+\text{短边2})^2}$ 最短。 |
| 切割面数算错 | 错误：以为切一刀只增加1个面。 应对：切一刀把物体一分为二，两个物体各多出一个切面，故增加2个面。 |
| 染色问题重复计算 | 错误：把顶点的小正方体（3面涂色）也算进棱上（2面涂色）里。 应对：牢记公式：3面在顶点(8个)，2面在棱中($12(n-2)$)，1面在面心($6(n-2)^2$)。 |
| 篱笆靠墙问题 | 错误：直接套用“正方形面积最大”结论。 应对：靠墙时，长宽比为 2:1 时面积最大；四面围合时，正方形（1:1）最大。 |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 最短路径：平面找对称，立体搞展开（记得拼短边）。
- 切割：切一刀加2面；拼一次减2面。
- 染色：$n$为棱上块数。顶点8个，棱上$12(n-2)$，面心$6(n-2)^2$。
- 构造：围墙长宽比2:1最划算。
刷题建议
- 基础巩固（5-10题）：重点练习长方体表面最短路径的展开画图，确保不会漏情况。
- 进阶挑战（5题）：找几道立体图形堆叠求表面积的题目（三视图法），锻炼空间想象力。
- 真题推荐：近年国考常考“几何概率”与“几何构造”，建议关注2018-2023年国考地市级真题中的几何题。