本节定位：几何问题是数量关系中必考的模块，虽然看似公式繁多，但核心考点非常集中。基础几何主要考察公式的直接运用、特殊三角形的性质以及图形的缩放比例关系。掌握这些基础，足以解决大部分几何题目。
一、考点概述
1. 什么是几何问题
几何问题是指涉及平面图形（三角形、四边形、圆等）和立体图形（正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等）的周长、面积、表面积、体积等计算的题目。基础几何侧重于公式的直接应用和特殊图形性质的掌握。
2. 考查频率
| 考试类型 | 年均题量 | 难度定位 | 考查趋势 |
|---|---|---|---|
| 国考 | 1-2 题 | 中等 | 近年考查频率上升 |
| 省联考 | 1-2 题 | 中等偏易 | 常规必考 |
| 事业单位 | 1 题 | 基础 | 侧重公式应用 |
3. 为什么要学
- 必考考点：近年来几何问题考查频率明显上升，2017年联考甚至出现15题中4道几何题的情况
- 难度可控：几何问题通常属于“会就秒、不会就跳”的类型，掌握公式和特殊图形性质后做题很快
- 性价比高：不会考三角函数、空间几何证明等复杂内容，公考几何题难度上限明确
二、常见设问方式
1. 面积/周长计算类
- “该图形的面积为多少？”【基础题】
- “阴影部分的面积是多少？”【中档题】
- “周长至少/最少为多少？”【最值结合】
2. 体积/表面积计算类
- “需要粉刷的面积为多少？”【表面积】
- “水面上升了多少厘米？”【体积守恒】
- “最多可以装多少个？”【装箱问题】
3. 比例变化类
- “边长变为原来的N倍，面积/体积变为多少？”【等比放缩】
- “两个相似图形的面积之比为？”【相似比例】
4. 最短路径类
- “排污管道总长最短是多少？”【镜像对称】
- “分身所走的最短距离为？”【反弹问题】
三、解题思路总览
1. 几何问题三步法
第一步：画图定位 — 根据题意画出几何示意图，标注已知条件
第二步：识别图形 — 判断是规则图形还是不规则图形
第三步：选择方法
- 规则图形 → 直接套用公式
- 不规则图形 → 割补平移法转化为规则图形
2. 题型分类与核心方法
| 题型 | 核心方法 | 记忆口诀 |
|---|---|---|
| 公式计算 | 直接套用面积/体积公式 | 公式要熟、计算要稳 |
| 特殊三角形 | 勾股数、30°-60°-90°、45°-45°-90° | 345必背、特殊角秒杀 |
| 等比放缩 | 边长N倍→面积N²倍→体积N³倍 | 边1面2体3 |
| 几何最值 | 周长定→圆最大；面积定→圆最小 | 定周求面大、定面求周小 |
| 最短路径 | 镜像对称法、展开法 | 两点之间直线最短 |
四、平面几何常用公式
1. 基础多边形
- 正方形：周长 $C=4a$，面积 $S=a^2$
- 长方形：周长 $C=2(a+b)$，面积 $S=ab$
- 三角形：面积 $S=\frac{1}{2}ah$
- 平行四边形：面积 $S=ah$
- 梯形：面积 $S=\frac{(a+b)h}{2}$
2. 圆与扇形
- 圆：周长 $C=2\pi r = \pi d$，面积 $S=\pi r^2$
- 扇形：
- 弧长 $L = \frac{n}{360} \cdot 2\pi r$
- 面积 $S = \frac{n}{360} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{2}Lr$
- 注：$n$ 为圆心角度数。
3. 最值理论（周长与面积）
- 周长一定：越接近圆，面积越大（圆 > 正方形 > 长方形）。
- 面积一定：越接近圆，周长越小（圆 < 正方形 < 长方形）。
- 篱笆围地模型：若一边靠墙，围成正方形面积最大；若四面围合，围成圆形面积最大（实际考试中常考正方形）。
五、立体几何常用公式
1. 柱体与方体
- 正方体：表面积 $S=6a^2$，体积 $V=a^3$
- 长方体：
表面积 $S=2(ab+bc+ac)$
体积 $V=abc$ - 圆柱：
侧面积 $S_{侧}=2\pi rh$
表面积 $S_{表}=2\pi rh + 2\pi r^2$
体积 $V=\pi r^2h$
2. 锥体与球体
- 圆锥：
体积 $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$ （等底等高圆柱的1/3） - 球体：
表面积 $S=4\pi r^2$
体积 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
六、直角三角形与勾股定理
直角三角形是几何计算的核心工具，必须熟记常用的勾股数和特殊角度的三边比例。
1. 勾股定理
$$a^2 + b^2 = c^2$$ （$c$ 为斜边）
常考勾股数（必背）：
- (3, 4, 5)及其倍数（如 6, 8, 10）
- (5, 12, 13)
- (6, 8, 10) —— 即 (3, 4, 5) 的2倍
- (8, 15, 17) —— 较少考，偶有涉及
2. 特殊角度三角形（秒杀核心）
(1) 30°-60°-90°
三边比例：$$1 : \sqrt{3} : 2$$
30°对1，60°对$\sqrt{3}$，90°对2
(2) 45°-45°-90° (等腰直角)
三边比例：$$1 : 1 : \sqrt{2}$$
直角边为1，斜边为$\sqrt{2}$
3. 快速计算技巧
- 看到 30°/60°，立刻联想 $1:\sqrt{3}:2$。例如斜边为10，则短直角边为5，长直角边为$5\sqrt{3}$。
- 看到 45°，立刻联想 $1:1:\sqrt{2}$。例如斜边为10，则直角边为 $5\sqrt{2}$（即 $10 \div \sqrt{2}$）。
- 正六边形：可以分割为 6 个等边三角形。面积 = $6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
七、相似与比例缩放（尺度扩大理论）
当一个几何图形的所有边长变为原来的 $N$ 倍时：
1. 几何性质变化规律
- 长度（边长、周长、半径、高）：变为 $N$ 倍
- 面积（底面积、侧面积、表面积）：变为 $N^2$ 倍
- 体积（容积）：变为 $N^3$ 倍
- 角度：不变
2. 示例
【例1】 一个圆柱的半径扩大为原来的2倍，高不变：
- 底面积扩大为 $2^2=4$ 倍。
- 体积 = 底面积 × 高，底面积变4倍，高变1倍，所以体积扩大为4倍。
【例2】 一个正方体的棱长扩大为原来的2倍：
- 表面积扩大为 $2^2=4$ 倍。
- 体积扩大为 $2^3=8$ 倍。
八、阴影面积求法
求解不规则阴影面积的两种核心思维：
- 和差法（最常用）：$S_{阴影} = S_{总} - S_{空白}$。将不规则图形看作规则图形的减法。
- 割补平移法：通过切割、旋转、平移，将分散的阴影部分拼凑成一个规则图形（如半圆、矩形）。
九、最短路径问题
求两点到直线距离之和最短的问题，核心方法是镜像对称法：
- 两点异侧：直接连线，直线距离即为最短
- 两点同侧：将其中一点关于直线做镜像对称点，再与另一点连线
原理：两点之间，直线最短
十、典型题型 + 真题精讲
题型一：公式直接计算
【真题 1】2015 国考
某学校准备重新粉刷升国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分别为 1 米和 2 米。问需要粉刷的面积为：
A.30平方米 B.29平方米 C.26平方米 D.24平方米
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解析：本题考查表面积计算，注意叠加部分不需粉刷。
- 下方大正方体（边长2m）：四个侧面 + 上表面的四周环形区域 = $4 \times 2^2 + (2^2 - 1^2) = 16 + 3 = 19$
- 上方小正方体（边长1m）：四个侧面 + 上表面 = $4 \times 1^2 + 1^2 = 5$
- 合计：$19 + 5 = 24$，加上下方大正方体底面 $2^2 = 4$
- 但底部贴地不用粉刷，所以答案为：$16 + 3 + 4 + 1 = 24 + 5 - 5 = 24$
重新计算：下方四侧面 $4 \times 4 = 16$，上方四侧面 $4 \times 1 = 4$，上方顶面 $1$，下方上表面环形区域 $4-1=3$，合计 $16+4+1+3=24$。
答案：D
【真题 2】2015 山西
把一个半径为 3 厘米的金属小球放到半径为 5 厘米且装有水的圆柱形烧杯中。如全部浸入后水未溢出，则水面比未放入小球之前上升多少厘米？
A.1.32 B.1.36 C.1.38 D.1.44
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解析：本题考查体积守恒：球的体积 = 水面上升部分的圆柱体积
- 球的体积：$V_{球} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi$
- 水面上升部分体积：$V = \pi R^2 h = \pi \times 5^2 \times h = 25\pi h$
- 列方程：$36\pi = 25\pi h$，解得 $h = \frac{36}{25} = 1.44$
答案：D
题型二：特殊三角形与正多边形
【真题 3】2016 黑龙江
老王围着边长为 50 米的正六边形的草地跑步，他从某个角点出发，按顺时针方向跑了 500 米，距出发点直线距离多少米？
A.$50\sqrt{2}$米 B.$50\sqrt{3}$米 C.$25(\sqrt{2}+1)$米 D.$50(\sqrt{3}-1)$米
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解析：本题考查正六边形性质和30°-60°-90°三角形。
- 正六边形周长 = $6 \times 50 = 300$ 米
- 跑了 500 米 = 300 + 200 米，即跑了一圈后又跑了 4 条边
- 最终位置在距起点 4 条边的位置，用正六边形的对角线性质求解
- 利用正六边形由 6 个等边三角形组成的性质，最终位置与起点距离 = $50\sqrt{3}$
答案：B
【真题 4】2020 新疆
某演播大厅的地面形状是边长为 100 米的正三角形，现要用边长为 2 米的正三角形砖铺满。问需要用多少块砖？
A.2763 B.2500 C.2340 D.2300
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解析：本题考查等比放缩：边长比 = $\frac{100}{2} = 50$，面积比 = 边长比的平方 = $50^2 = 2500$
答案：B
题型三：等比放缩与相似
【真题 5】2014 天津
正六面体的表面积增加 96%，则棱长增加多少？
A.20% B.30% C.40% D.50%
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解析：本题考查等比放缩：表面积变为原来的 $1 + 96\% = 1.96$ 倍。
- 设棱长变为原来的 $n$ 倍，则表面积变为 $n^2$ 倍
- $n^2 = 1.96$，解得 $n = 1.4$
- 棱长增加了 $1.4 - 1 = 0.4 = 40\%$
答案：C
【真题 6】相似三角形面积比
一块三角形农田 ABC，点D在AB上，点E在AC上，点F在BC上。已知 BD=2AD，CE=2AE，CF=2BF，则三角形 ADE、三角形 CEF 和四边形 BDEF 的面积之比为？
A.1:3:3 B.1:3:4 C.1:4:4 D.1:4:5
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解析：本题考查相似三角形面积比。
- 三角形 ADE 与 ABC：因为D在AB，E在AC，且共用角A。
由 BD=2AD，得 $AB=3AD$（相似比1:3）。面积比 = $1^2 : 3^2 = 1:9$。
设 $S_{ADE}=1$，则 $S_{ABC}=9$。 - 三角形 CEF 与 ABC：因为E在AC，F在BC，且共用角C。
由 CE=2AE $\Rightarrow AC=3AE \Rightarrow CE=\frac{2}{3}AC$。
由 CF=2BF $\Rightarrow BC=3BF \Rightarrow CF=\frac{2}{3}BC$。
两边对应成比例且夹角相等，故 $\triangle CEF \sim \triangle CAB$，相似比为 2:3。
面积比 = $2^2 : 3^2 = 4:9$。即 $S_{CEF} = \frac{4}{9} S_{ABC} = 4$。 - 四边形 BDEF：$S_{ABC} - S_{ADE} - S_{CEF} = 9 - 1 - 4 = 4$。
- 比例 = $1 : 4 : 4$。
答案：C
题型四：几何最值问题
【真题 7】2018 云南
某地区有一个长方形广场，其面积为 1600 平方米。由此可知，这个广场的周长至少有：
A.160米 B.200米 C.240米 D.320米
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解析：本题考查几何最值理论：面积一定时，正方形周长最小。
- 面积为 1600 平方米，当为正方形时边长 = $\sqrt{1600} = 40$ 米
- 最小周长 = $4 \times 40 = 160$ 米
答案：A
【真题 8】2019 新疆
某健身馆准备将一块周长为 100 米的长方形区域划为瑶伽场地，将一块周长为 160 米的长方形区域划为游泳场馆。若瑶伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大面积。问两块场地面积之差为多少平方米？
A.625 B.845 C.975 D.1150
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解析：本题考查几何最值理论：周长一定时，正方形面积最大。
- 瑶伽场地：周长 100 米，正方形边长 = 25 米，面积 = $25^2 = 625$
- 游泳场馆：周长 160 米，正方形边长 = 40 米，面积 = $40^2 = 1600$
- 面积差 = $1600 - 625 = 975$
答案：C
题型五：最短路径问题
【真题 9】2017 吉林
悟空与二郎神在离地面 1 米的空中决斗，两人相距 2 米，悟空想用分身直接偷袭二郎神，为了不引起对方的警觉，分身必须在地面反弹一次再进行攻击，则分身到达二郎神的位置所走的最短距离为：
A.$2\sqrt{2}$米 B.$\sqrt{3}$米 C.$\sqrt{2}$米 D.$2\sqrt{3}$米
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解析：本题考查镜像对称法。
- 将悟空关于地面做镜像对称点，得到悟空'（地面下 1 米处）
- 悟空'到二郎神的直线距离即为最短路径
- 悟空'与二郎神的垂直距离 = 1 + 1 = 2 米，水平距离 = 2 米
- 最短距离 = $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
答案：A
【真题 10】2017 湖南
某条河流一侧有 A、B 两家工厂，与河岸的距离分别为 4km 和 5km，且 A 与 B 的直线距离为 11km。为了处理这两家工厂的污水，需要在距离河岸 1km 处建造一个污水处理厂，分别铺设排污管道连接 A、B 两家工厂。假定河岸是一条直线，则排污管道总长最短是：
A.12km B.13km C.14km D.15km
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解析：本题考查镜像对称法。
- 污水处理厂在距河岸 1km 处，将 A 关于这条线做镜像对称点 A'
- A 到河岸 4km，到建厂线 3km，所以 A' 在建厂线另一侧 3km 处
- A' 到建厂线距离 = 3km，B 到建厂线距离 = 5 - 1 = 4km
- 利用 A、B 距离 11km，计算 A' 与 B 的水平距离
- 设水平距离为 x，则 $x^2 + (4-(-3))^2 = x^2 + 49$，结合 $x^2 + 1^2 = 11^2 - ...$
- A' 与 B 的垂直距离 = 3 + 4 = 7km，水平距离需计算
- 由 AB = 11，垂直差 = 1，水平距离 = $\sqrt{11^2 - 1^2} = \sqrt{120}$
- 最短距离 = $\sqrt{(\sqrt{120})^2 + 7^2} = \sqrt{120 + 49} = \sqrt{169} = 13$
答案：B
十一、高频易错点与命题陷阱
| No. | 易错点 | 典型错误 | 正确做法 |
|---|---|---|---|
| 1 | 公式记混 | 圆锥体积忘记乘 $\frac{1}{3}$，或与圆柱公式混淆 | 记住：锥体/棱锥体积 = $\frac{1}{3}$ × 底面积 × 高 |
| 2 | 放缩比例误用 | 边长变为 2 倍，误认为面积也变为 2 倍 | 边长 N 倍 → 面积 N² 倍 → 体积 N³ 倍 |
| 3 | 特殊角度三边比记错 | 30°-60°-90° 三边比记成 $1:2:\sqrt{3}$ | 正确为 $1:\sqrt{3}:2$（30°对边:60°对边:斜边） |
| 4 | 叠加图形重复计算 | 两个正方体叠加的表面积，简单相加两个表面积 | 需减去重叠部分的面积 |
| 5 | 最值问题方向混淆 | "周长至少"却按周长最大计算 | 明确题目问的是“最大”还是“最小” |
| 6 | 单位换算错误 | 平方米与平方厘米换算错误 | $1m^2 = 10000cm^2$，$1m^3 = 1000000cm^3$ |
十二、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 公式要熟：平面/立体图形的周长、面积、体积公式必须倒背如流
- 特殊角秒杀：勾股数(3:4:5)、30°-60°-90°($1:\sqrt{3}:2$)、45°-45°-90°($1:1:\sqrt{2}$)要形成条件反射
- 等比放缩记住“边1面2体3”：边长N倍→面积N²倍→体积N³倍
- 几何最值两句话：周长定求面积大，正方形最优；面积定求周长小，正方形最优
- 最短路径用镜像：同侧取对称点，然后连线，两点之间直线最短
刷题建议
| 阶段 | 题量 | 题源建议 | 重点练习 |
|---|---|---|---|
| 基础巩固 | 15-20 题 | 省联考、事业单位真题 | 公式直接应用、特殊三角形 |
| 强化进阶 | 10-15 题 | 国考、省考真题 | 等比放缩、几何最值、最短路径 |
| 冲刺提升 | 5-10 题 | 国考难题、北京/江苏真题 | 复杂图形拆解、综合应用 |
刷题顺序建议
- 先刷公式计算类，确保公式熟练
- 再刷特殊三角形类，形成条件反射
- 然后刷等比放缩和相似类
- 最后刷几何最值和最短路径类