本节定位：牛吃草问题（又称消长问题）是一类经典的“存量+变量”模型，由17世纪英国科学家牛顿提出。题目通常具有明显的排比句特征（如“20头牛吃10天，30头牛吃5天”）。解决此类问题的核心在于建立“原有存量”与“自然变化量”之间的平衡方程。
一、考点概述
1. 什么是牛吃草问题
牛吃草问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不确定。本质上可以看作追及问题：牛吃草的速度在“追”草生长的速度。
2. 考查频率
| 考试类型 | 年均题量 | 难度定位 | 考查趋势 |
|---|---|---|---|
| 国考 | 0-1 题 | 中等偏难 | 非高频，但有考必考 |
| 省联考 | 0-1 题 | 中等 | 偏重考查变形场景 |
| 事业单位 | 偶尔出现 | 中等 | 基本模型为主 |
3. 为什么要学
- 题型识别简单：“双排比句”是最显著的特征，一看就知道是牛吃草问题
- 解法固定：掌握核心公式后即可解决，属于“会就拿分”的题型
- 变形场景多：抽水/漏水、检票/排队、河沙开采等，本质都是牛吃草模型
二、常见设问方式
1. 标准型（求时间）
- “X头牛吃草可以吃Y天，问 N头牛可以吃多少天？”【基础题】
- “X台抽水机抽水Y小时可以抽完，问 N台需要多少小时？”【变形场景】
2. 求数量型
- “要在Y天内吃完，需要多少头牛？”【中档题】
- “开始处理时，该船已进水多少立方米？”【求原有存量】
3. 可持续型（极值问题）
- “为了保证河沙不被开采枯竭，最多可供多少人连续开采？”【高频考点】
- “为了让草永远吃不完，最多能养多少头牛？”【答案=生长速度x】
三、解题思路总览
1. 题型识别特征
“双排比句”特征：看到以下句式，立即联想牛吃草问题：
- 牛吃草：“240头牛可以吃6天，200头牛可以吃10天”
- 挖沙子：“80人连续开采6个月，60人连续开采10个月”
- 检票：“开4个检票口需要50分钟，开6个检票口需要30分钟”
- 水池：“5台抽水机40小时可以抽完，10台抽水机15小时可以抽完”
- 泄洪：“打开10个泄洪闸8小时可以恢复安全水位，打开6个需要24小时”
2. 核心公式
$$y = (N - x) \times T$$
| 变量 | 含义 | 典型代表 |
|---|---|---|
| $y$ | 原有存量 | 牧场原有的草、水池原有的水、开门前已有的排队人数 |
| $N$ | 消耗者数量/效率 | 牛数、抽水机台数、检票口数量 |
| $x$ | 自然增长速度 | 草生长速度、漏水速度、新增排队人数 |
| $T$ | 存量耗尽所需时间 | 吃10天、抽完需要40小时、排队清空需要的时间 |
公式理解：牛吃草的速度 $N$ 必须大于草生长的速度 $x$，才能把草吃完。净消耗速度 = $N - x$。
四、核心模型与公式
1. 追及模型（枯竭型）
最常见的类型。草在生长（增加阻力），牛在吃草（减少存量）。或者人排队（增加），窗口检票（减少）。
$$y = (N - x) \times T$$
- $y$：原有存量（如牧场原有的草、水池原有的水、原有的排队人数）。
- $N$：消耗者的数量或效率（如牛数、抽水机台数、检票口数量）。
- $x$：自然增长速度（如草生长速度、漏水速度、新增排队速度）。
- $T$：存量耗尽所需的时间。
理解：牛吃草的速度 $N$ 必须大于草生长的速度 $x$，才能把草吃完。净消耗速度 = $N - x$。
2. 相遇模型（补充型）
较少考查。例如草在枯萎，或者寒冷天气下冰块在融化（自然减少），同时还在人为消耗。
$$y = (N + x) \times T$$
理解：人为消耗 $N$ 和自然减少 $x$ 共同作用，加速存量耗尽。
五、解题步骤
第一步：设单位
假设每头牛（或每台机器、每个窗口）的效率为 1。则 $N$ 头牛的效率即为 $N$。
第二步：列方程组
根据题目给出的两个排比条件，列出关于 $y$ 和 $x$ 的方程组：
$$\begin{cases} y = (N_1 - x) \times T_1 \\ y = (N_2 - x) \times T_2 \end{cases}$$
第三步：解方程求答
解方程组求出 $x$（自然增长速度）和 $y$（原有存量）。最后将第三个条件的已知量带入公式求解。
六、典型变型场景
1. 抽水/漏水问题
场景：船漏水或水池排水。
- $y$ = 原有积水量
- $N$ = 抽水机台数
- $x$ = 进水/漏水速度
- 公式：$y = (N - x) \times T$
2. 检票/排队问题
场景：车站检票口检票，同时有人源源不断来排队。
- $y$ = 开门前已有的排队人数
- $N$ = 检票口数量
- $x$ = 每分钟新增乘客人数
- 公式：$y = (N - x) \times T$
3. 资源开采问题
场景：河沙沉积与开采。
- $y$ = 原有河沙量
- $N$ = 开采人数
- $x$ = 河沙自然沉积速度
- 公式：$y = (N - x) \times T$
七、特殊考点：资源可持续（极值问题）
问法：“为了让草永远吃不完”、“为了保证河沙不被开采枯竭”、“最多允许多少人连续开采”。
结论：当消耗速度 $\le$ 自然增长速度时，存量永远不会减少。
$$N \le x$$
解法：利用前两个条件求出 $x$，则最大可持续的 $N$ 就是 $x$。
八、典型题型 + 真题精讲
题型一：标准牛吃草问题（求时间）
【真题 1】经典例题
牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吹22天；或者供给16头牛吃，可以吹10天。如果供给25头牛吃，可以吹多少天？
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解析：本题是经典的牛吃草问题。
- 设：每头牛每天吃草量为1份，原有草量为y份，每天生长x份
- 列方程：
- 10头牛吹22天：$y = (10 - x) \times 22$
- 16头牛吹10天：$y = (16 - x) \times 10$
- 解方程：$(10-x) \times 22 = (16-x) \times 10$
- $220 - 22x = 160 - 10x$，$60 = 12x$，$x = 5$
- $y = (10 - 5) \times 22 = 110$
- 求答：25头牛吃草：$T = \frac{110}{25-5} = 5.5$天
答案：5.5天
【真题 2】2023 广东
某牧场的草，匀速生长。如果20头牛来吃，20天可将草吃光；如果10头牛和10只羊来吃，30天可以恰好吃光。已知一头牛每天的吃草量是一只羊的2倍，到30只羊吃该牧场的草，多少天可以吃光？
A.10 B.20 C.30 D.40
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解析：本题有牛羊混合，需先统一单位。设每只羊每天吃草量为1份，则每头牛每天吃2份。
- 20头牛吹20天：每天总消耗 = $20 \times 2 = 40$份，$y = (40 - x) \times 20$
- 10头牛+10只羊吹30天：每天总消耗 = $10 \times 2 + 10 \times 1 = 30$份，$y = (30 - x) \times 30$
- 解方程：$(40-x) \times 20 = (30-x) \times 30$
- $800 - 20x = 900 - 30x$，$10x = 100$，$x = 10$
- $y = (40 - 10) \times 20 = 600$
- 30只羊吃草：每天消耗 = $30 \times 1 = 30$份，$T = \frac{600}{30-10} = \frac{600}{20} = 30$天
答案：C
题型二：抽水/漏水问题
【真题 3】2014 河北
有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干，若用 5 台抽水机 40 小时可以抽完，若用 10 台抽水机 15 小时可以抽完。现在用 14 台抽水机，多少小时可以把水抽完？
A.10小时 B.9小时 C.8小时 D.7小时
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解析：设每台抽水机每小时抽水1份，原有水量y份，每小时涌出x份。
- 5台抽40小时：$y = (5 - x) \times 40$
- 10台抽15小时：$y = (10 - x) \times 15$
- $(5-x) \times 40 = (10-x) \times 15$
- $200 - 40x = 150 - 15x$，$50 = 25x$，$x = 2$
- $y = (5-2) \times 40 = 120$
- 14台抽水：$T = \frac{120}{14-2} = \frac{120}{12} = 10$小时
答案：A
【真题 4】船漏水问题
某轮船发生漏水事故，漏洞处不断地匀速进水，船员发现险情后立即开启抽水机向外抽水。已知每台抽水机每分钟抽水 20 立方米，若同时使用 2 台抽水机 15 分钟能把水抽完，若同时使用 3 台抽水机 9 分钟能把水抽完。当抽水机开始向外抽水时，该轮船已进水多少立方米？
A.360 B.450 C.540 D.600
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解析：本题给了每台抽水机的具体效率（20立方米/分钟），求原有存量y。
- 2台抽15分钟：抽水总量 = $2 \times 20 \times 15 = 600$，$y + 15x = 600$
- 3台抽9分钟：抽水总量 = $3 \times 20 \times 9 = 540$，$y + 9x = 540$
- 两式相减：$6x = 60$，$x = 10$（每分钟进水10立方米）
- $y = 540 - 9 \times 10 = 450$立方米
答案：B
题型三：检票/排队问题
【真题 5】2020 浙江
火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3个窗口，需耗90分钟；若开放5个窗口，则需耗45分钟。问如果开放6个窗口，需耗时多少分钟？
A.36 B.38 C.40 D.42
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解析：设每个窗口每分钟处理1人，原有排队人y人，每分钟新增x人。
- 3个窗口90分钟：$y = (3 - x) \times 90$
- 5个窗口45分钟：$y = (5 - x) \times 45$
- $(3-x) \times 90 = (5-x) \times 45$
- $270 - 90x = 225 - 45x$，$45 = 45x$，$x = 1$
- $y = (3-1) \times 90 = 180$
- 6个窗口：$T = \frac{180}{6-1} = \frac{180}{5} = 36$分钟
答案：A
题型四：可持续开采问题（求极值）
【真题 6】2013 国考
某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）
A.25 B.30 C.35 D.40
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解析：本题求可持续开采的最大人数，即求生长速度x。
- 设每人每月开采1份，原有河沙y份，每月沉积x份
- 80人开采6个月：$y = (80 - x) \times 6$
- 60人开采10个月：$y = (60 - x) \times 10$
- $(80-x) \times 6 = (60-x) \times 10$
- $480 - 6x = 600 - 10x$，$4x = 120$，$x = 30$
- 要保证河沙不枯竭，开采速度 $N \le x$，即最多30人
答案：B
题型五：变速型（进阶）
【真题 7】2022 四川
某零件生产车间每天产量固定且目前有一定库存，车间用货车将库存零件运往买方仓库。如每天运24车，5天刚好运完；如每天运18车，8天刚好运完。现每天运x车，4天后车间生产效率提高了50%，又用了7天运完存货。问x可能的最小值为？
A.18 B.19 C.20 D.21
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解析：本题是牛吃草变形，“生产”对应“草生长”，“运货”对应“牛吃草”，且生长速度会变化。
- 设每车运货1份，原有库存y份，每天生产x'份
- 24车5天：$y = (24 - x') \times 5$
- 18车8天：$y = (18 - x') \times 8$
- $(24-x') \times 5 = (18-x') \times 8$，$120 - 5x' = 144 - 8x'$，$3x' = 24$，$x' = 8$
- $y = (24-8) \times 5 = 80$
- 现在：前4天生产速度8，后7天生产速度 $8 \times 1.5 = 12$
- 前4天存量变化：$80 + 4 \times 8 - 4x = 112 - 4x$
- 后7天存量变化：$(112 - 4x) + 7 \times 12 - 7x = 196 - 11x = 0$
- $x = \frac{196}{11} \approx 17.8$，向上取整为18
答案：A
九、高频易错点与命题陷阱
| No. | 易错点 | 典型错误 | 正确做法 |
|---|---|---|---|
| 1 | 公式符号记错 | 把 $y = (N - x) \times T$ 记成 $y = (N + x) \times T$ | 理解“追及”本质：牛吃草要“超过”草生长，所以是减 |
| 2 | 忽略单位统一 | 牛羊混合问题中，直接把牛和羊的数量相加 | 先统一单位：若1牛=2羊，则把牛换算成羊再计算 |
| 3 | 漏算原有存量 | 只考虑新增量和消耗量，忽略原有的y | 记住公式核心：原有量 = 净消耗速度 × 时间 |
| 4 | 可持续问题理解错 | 求“永不枯竭”时，将答案设为 $N < x$ | 正确理解：$N \le x$，“最多”就是 $N = x$ |
| 5 | 计算错误 | 解方程时符号处理出错，或最后一步除法算错 | 仔细展开括号，逐步计算，最后验算 |
十、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 识别特征：双排比句 — 看到“X头牛吃Y天，M头牛吃N天”这类句式，立即联想牛吃草问题
- 核心公式：$y = (N - x) \times T$ — 原有存量 = 净消耗速度 × 时间
- 解题思路：设单位→列方程→解方程→求答
- 可持续问题：$N \le x$ — 求“永不枯竭”时，答案就是生长速度x
- 变形场景本质相同 — 抽水/漏水、检票/排队、河沙开采等，都是“存量+变量”模型
刷题建议
| 阶段 | 题量 | 题源建议 | 重点练习 |
|---|---|---|---|
| 基础巩固 | 8-10 题 | 省联考、事业单位真题 | 标准牛吃草、抽水问题 |
| 强化进阶 | 5-8 题 | 国考、浙江/广东真题 | 检票排队、可持续开采 |
| 冲刺提升 | 3-5 题 | 国考难题、四川真题 | 变速型、牛羊混合型 |
刷题顺序建议
- 先刷标准牛吃草问题，确保解题思路熟练
- 再刷变形场景（抽水、检票、河沙），确认能快速识别模型
- 然后刷可持续开采类，掌握$N \le x$的结论
- 最后刷变速型、混合型等进阶题