本节定位：容斥原理的“深水区”。当题目没有给出标准的“两两交集”，而是给出了“只满足两项”或者复杂的区域关系时，死套基础公式就行不通了。本节将教你用“非标准公式”和“文氏图”手术刀般地剖析题目。
一、考点概述
1. 进阶题型特征
- 条件非标：给出“只参加两项的人数”、“只喜欢一种的人数”。
- 关系复杂：集合之间存在包含关系（如“会俄语的都会英语”），或者需要求某个特定区域。
- 数据缺失：无法直接套公式，需要设未知数列方程。
2. 核心解题工具
| 工具 | 适用场景 | 核心要点 |
|---|---|---|
| 非标准公式 | 题目出现“只满足两项” | $$ \text{总} - \text{都不} = A+B+C - \text{只2} - 2 \times \text{只3} $$ |
| 文氏图法 | 出现“只满足某一项”或公式不可套 | 从内向外标注：三 $\rightarrow$ 只两 $\rightarrow$ 只一 |
| 包含关系特殊处理 | $A \subseteq B$ 这类嵌套关系 | 画“大圈套小圈”，注意标注不存在的区域 |
二、常见设问方式
- 【非标准型】 “只参加两场讲座的有 $X$ 人，三场都参加的有 $Y$ 人，求未参加任何讲座…”
- 【求总人数】 “只参加两个项目的有 $X$ 人，参加全部项目的有 $Y$ 人，求运动会总人数”
- 【求“只一项”】 “既吃A又吃B的 $X$ 人…求只吃一样东西的人数”
- 【包含关系】 “会俄语的都会英语，其中一半还会法语…求会法语的人数”
- 【缺失数据】 “订阅A、B期刊的有57人，订阅A、C期刊的有73人，求订阅B、C期刊的人数”
三、解题思路总览
1. 三集合非标准型公式
当题目条件中出现 “只满足两个条件”（注意：不是“满足两个条件”）时，使用：
$$ \text{总数} - \text{都不} = A + B + C - \text{只满足两项} - 2 \times \text{满足三项} $$
原理推导：在 $A+B+C$ 的加和过程中，“只满足两项”的区域被计算了 2 次（需减去 1 次），“满足三项”的区域被计算了 3 次（需减去 2 次），才能还原并集。
2. 文氏图法（由内向外）
使用场景：
- 出现“只满足某一个条件”时，优先画图。
- 条件复杂、不能直接套公式时，使用画图法辅助。
填数顺序：
- 先填最中心：三项都满足的数量。
- 再填中间层：$$ \text{只满足两项} = \text{两两交集} - \text{三项交集} $$
- 最后填外层：$$ \text{只满足一项} = \text{单集合总数} - \text{中间层} - \text{中心} $$
四、典型题型拆分与例题精讲
题型一：非标准公式应用
【例1】
某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的49人，参加跳远的36人，参加短跑的28人，其中只参加两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为多少？
A.75 B.82 C.88 D.95
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解析：
- 识别：题目给出“只参加两个项目”，判定为非标准型。
- 列式：假设每人至少参加一项（即“都不”为0）。 $$ \text{总数} - 0 = 49 + 36 + 28 - 13 - 2 \times 9 $$
- 计算： $$ \text{总数} = 113 - 13 - 18 = 82 $$
答案：B
【例2】
某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率90%，在调查对象中有180人会利用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的50人，同时使用两种学习方式的20人，不存在三种学习都不用的人。求共发放多少份问卷？
A.370 B.380 C.390 D.400
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解析：
- 识别：“同时使用两种学习方式”即“只满足两项”，使用非标准公式。
- 列式：设回收问卷数为 $N$。 $$ N - 0 = 180 + 200 + 100 - 20 - 2 \times 50 $$
- 计算回收数： $$ N = 480 - 20 - 100 = 360 $$
- 求发放数： $$ \text{发放数} = 360 \div 90\% = 400 $$
答案：D
【例3】
某单位利用业余时间举行了3次义务劳动，总计有112人次参加，在参加义务劳动的人中，只参加1次、参加2次和3次全部参加的人数之比为5：4：1，问该单位共有多少人参加了义务劳动？
A.70 B.72 C.77 D.80
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解析：
- 设比例份数：设只参加1次、2次、3次的人数分别为 $5k, 4k, 1k$。
- 利用“人次”列方程： $$ 1 \times 5k + 2 \times 4k + 3 \times 1k = 112 $$ $$ 5k + 8k + 3k = 16k = 112 \Rightarrow k = 7 $$
- 求总人数： $$ \text{总人数} = 5k + 4k + 1k = 10k = 70 $$
答案：A
题型二：文氏图区域求解
【例4】
联欢会上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的12人，既吃冰激凌又吃水果的16人，既吃蛋糕又吃水果的18人，三样都吃的有6人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？
A.12 B.18 C.24 D.32
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解析：
- 画图填数（遵循从内向外原则）：
- 中心（都吃）：$6$。
- 中间层（只吃两样）：
只冰蛋 $= 12 - 6 = 6$；
只冰水 $= 16 - 6 = 10$；
只蛋水 $= 18 - 6 = 12$。 - 外层（只吃一样）：
只冰 $= 24 - (6 + 10 + 6) = 2$；
只蛋 $= 30 - (6 + 12 + 6) = 6$；
只水 $= 38 - (10 + 12 + 6) = 10$。
- 求和： $$ \text{只吃一样} = 2 + 6 + 10 = 18 $$
答案：B
【例5】
某翻译团队中，每名译员都擅长英语、日语、俄语中的至少一门语言。擅长英语的17人，擅长日语的21人，擅长俄语的23人；擅长英语和日语的有7人，擅长英语和俄语的有6人，擅长日语和俄语的有6人；擅长三门语言的仅占总人数的十五分之一，则仅擅长英语的译员有多少人？
A.4 B.5 C.6 D.7
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解析：
- 先求总人数 $N$：
设三门都会 $= \frac{N}{15}$。
代入标准公式： $$ N - 0 = 17 + 21 + 23 - (7 + 6 + 6) + \frac{N}{15} $$ $$ N = 61 - 19 + \frac{N}{15} = 42 + \frac{N}{15} $$ $$ \frac{14N}{15} = 42 \Rightarrow N = 45 $$
所以三门都会的人数 $= 3$。 - 画图求解“仅擅长英语”：
只英日 $= 7 - 3 = 4$；
只英俄 $= 6 - 3 = 3$；
仅英语 $= \text{英语总数} - (\text{只英日} + \text{只英俄} + \text{三会}) = 17 - (4 + 3 + 3) = 7$。
答案：D
题型三：包含关系特殊容斥
【例6】
某高校外国语学院中，会俄语的学生都会英语，其中一半还会法语；会英语的学生中有一半会法语；这三种语言都会的学生有50人，只会其中两种语言的有100人，只会其中一种语言的有150人。问会法语的学生有多少人？
A.100 B.200 C.50 D.150
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解析：
- 包含关系推导：
“会俄语的学生都会英语” $\Rightarrow$ 俄语集合完全包含在英语集合内（$俄 \subseteq 英$）。
这意味着不存在“只会俄语”或“只会俄语和法语（不会英语）”的人。 - 解析数据：
三门都会 $= 50$。
由“会俄语的一半还会法语”，且会俄语必然会英语 $\Rightarrow$ “三门都会”占了俄语总数的一半。
$\therefore$ 俄语总数 $= 50 \times 2 = 100$。
剩下的 $50$ 人是“会俄语和英语，但不会法语” $\Rightarrow$ 属于“只会两门”。 - 分析“只会两门”：
总共 $100$ 人。其中“只俄英”占了 $50$ 人。
剩下 $50$ 人只能是“只英法”（因为不存在“只俄法”）。
$\therefore$ 会英语且会法语的人数 $= (\text{三会}) + (\text{只英法}) = 50 + 50 = 100$。 - 推导英语总数：
由“会英语的学生中有一半会法语” $\Rightarrow$ 会英语总数 $= 100 \times 2 = 200$。 - 倒推法求会法语人数：
英语集合内部 $= 200$。
只会英 $= 200 - (\text{只俄英} + \text{只英法} + \text{三会}) = 200 - (50 + 50 + 50) = 50$。
已知“只会一种语言”共 $150$ 人。
只法 $= 150 - (\text{只英}) - (\text{只俄，为0}) = 150 - 50 = 100$。
法语总数 $= \text{只法} + \text{只英法} + \text{三会} = 100 + 50 + 50 = 200$。
答案：B
五、高频易错点
| 易错点 | 错误表现 | 正确应对 |
|---|---|---|
| “交集”与“只两项”混淆 | 看到“既A又B”误以为是“只满足两项” | “既…又…”是交集（包含三项），“只…”才是非标准。公式系数不同，务必区分。 |
| 非标公式系数记错 | 写成“$- 2 \times \text{只两项}$”或“$- 1 \times \text{三项}$” | 正确公式尾部：$$ - \text{只两项} - 2 \times \text{三项} $$ |
| 包含关系画成交叉圆 | 遇到 $A \subseteq B$ 还画三个相交的圆 | 包含关系要画“大圈套小圈”，并注意标注出不存在的区域（即不可能发生的组合）。 |
| 填图顺序错乱 | 先填外层再填内层，导致数据重复扣除 | 牢记顺序：从内向外。先填三项交集，再推算只两项，最后推算只一项。 |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 非标准公式：$$ \text{总} - \text{都非} = A + B + C - \text{只2} - 2 \times \text{只3} $$
- 文氏图：出现“只满足某一项”时优先画图，从内向外填数。
- 包含关系：画“大圈套小圈”，利用逻辑排除不存在的区域。
- 心法：公式是死的，画图是活的。遇到条件怪异的题目，动手画圈。
刷题建议
- 基础巩固：非标准公式题做 3-5 道，熟练掌握系数“1、1、1、-1、-2”。
- 进阶突破：文氏图题做 5 道，训练从繁杂文字转图形直观分析的能力。
- 推荐真题：2014陕西、2015广东乡镇、2018黑龙江、2018江西、2020深圳、2024国考。