本节定位：数量关系中的“拼图游戏”。容斥原理的核心是处理“重叠问题”，只要记住两套公式（两集合、三集合）和一个画图法，就能解决95%的容斥题目。它是行测考试中性价比较高的模块。

一、考点概述

1. 什么是容斥原理？

容斥原理用于解决多个集合存在重叠部分的计数问题。核心思想是：把重复算的减去，把减错的加回来（多退少补）。

2. 题型分类

题型识别特征核心解法
两集合容斥涉及A、B两类属性（如捐款/捐物）基础公式
三集合标准型给出两两交集（$A \cap B$、$B \cap C$、$A \cap C$）标准公式
三集合非标准型给出“只满足两项”的人数非标准公式（详见4.5进阶）
画图法出现“只满足某一个条件”或关系复杂文氏图逐层标注（详见4.5进阶）

二、常见设问方式

  • 【两集合基础】 “$X$ 人做A，$Y$ 人做B，求两项都做的有多少人”
  • 【两集合+都不】 “总 $N$ 人，A合格的 $X$ 人，B合格的 $Y$ 人，两项都不合格的 $Z$ 人，求两项都合格的人数”
  • 【三集合标准型】 “喜A的 $X$ 人，喜B的 $Y$ 人，喜C的 $Z$ 人，既喜A又喜B的…既喜A又喜C的…三种都喜的…”
  • 【三集合非标】 “只参加两项的有 $X$ 人，三项都参加的有 $Y$ 人…”
  • 【求“都不”】 “三项都不达标的有多少种”、“不喜欢这三个景点中任何一个的有多少人”

三、解题思路总览

1. 两集合公式（基础）

$$ \text{总数} - \text{都不满足} = A + B - A \cap B $$

口诀：总数减都不 = 两集合之和 − 两集合公共数。

注意：若题目表述为“每人至少参加一项”，则“都不满足”项为0。

2. 三集合标准型公式

当题目给出 $A \cap B$、$B \cap C$、$A \cap C$ 具体数值时使用：

$$ \text{总数} - \text{都不} = A + B + C - (A \cap B + B \cap C + A \cap C) + A \cap B \cap C $$

记忆口诀：一层 − 二层 + 三层。

3. 三集合非标准型公式（简介）

当题目出现“（只）满足两个条件”时使用：

$$ \text{总数} - \text{都不} = A + B + C - \text{只满足两项} - 2 \times \text{满足三项} $$

注意：“只满足两项”不包含三项交集。该公式推导逻辑将在“4.5 进阶篇”详细展开。

4. 画图法（文氏图）

使用场景：

  • 出现“只满足某一个条件”时，优先画图。
  • 条件关系复杂，不能直接套用公式时。
  • 规则：从最内层（三项交集）开始填数，向外逐层标注。

四、典型题型拆分与例题精讲

题型一：两集合基础

【例1】

某公司组织歌舞比赛，共68人参赛。其中，参加舞蹈比赛的12人，参加歌唱比赛的18人，45人什么比赛都没有参加。问同时参加歌舞比赛的有多少人？
A.7　　B.8　　C.9　　D.10
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解析：

  1. 识别：两集合（舞蹈、歌唱），已知“都不” $= 45$。
  2. 列式：设同时参加两项的为 $x$。 $$ 68 - 45 = 12 + 18 - x $$
  3. 解方程： $$ 23 = 30 - x \Rightarrow x = 7 $$

答案：A

【例2】

某单位80名员工，要求工作组成员须同时有基层经历和计算机证书。已40人有基层经历，46人有计算机证书，既没有基层经历又未获证书的有10人。求能进入工作组的员工数。
A.16　　B.40　　C.46　　D.54
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解析：

  1. 题意：“进入工作组”即要求“两项都有”，设为 $x$。
  2. 列式： $$ 80 - 10 = 40 + 46 - x $$
  3. 计算： $$ 70 = 86 - x \Rightarrow x = 16 $$

答案：A

【例3】

某班60人，参加物理竞赛的30人，参加数学竞赛的32人，两科都没有参加的有20人。同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人？
A.28人　　B.26人　　C.24人　　D.22人
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解析：

  1. 列式： $$ 60 - 20 = 30 + 32 - x $$
  2. 计算： $$ 40 = 62 - x \Rightarrow x = 22 $$

答案：D

题型二：三集合标准型

【例4】

针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山，3人喜欢这三个景点，求不喜欢这三个景点中任何一个的有多少人？
A.20　　B.18　　C.17　　D.15
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解析：

  1. 识别：题目给出了两两交集的具体数值（8, 10, 5）和三项交集（3），属于标准型。
  2. 列式：设不喜欢任何一个的人数为 $x$。 $$ 100 - x = 28 + 30 + 42 - (8 + 10 + 5) + 3 $$
  3. 计算： $$ 100 - x = 100 - 23 + 3 $$ $$ 100 - x = 80 \Rightarrow x = 20 $$

答案：A

【例5】

某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅A、B期刊的有57人，订阅A、C期刊的有73人，订阅三种期刊的有31人，此外，还有17人没有订阅任何一种。问订阅B、C期刊的有多少人？
A.57　　B.64　　C.69　　D.78
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解析：

  1. 设未知数：设订阅 B、C 两刊的有 $x$ 人（即 $B \cap C = x$）。
  2. 代入标准公式： $$ 240 - 17 = 125 + 126 + 135 - (57 + 73 + x) + 31 $$
  3. 化简计算： $$ 223 = 386 - (130 + x) + 31 $$ $$ 223 = 417 - 130 - x $$ $$ 223 = 287 - x \Rightarrow x = 64 $$

答案：B

【例6】

某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？
A.34　　B.35　　C.36　　D.37
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解析：

  1. 题意理解：“同时两项不合格的有7种”通常指“恰好满足两项不合格”的产品数为7。这是一道非标准型的变形题。
  2. 核心公式： $$ \text{总不合格数} = A + B + C - \text{恰好两项} - 2 \times \text{三项} $$
  3. 计算不合格总数： $$ \text{不合格并集} = 8 + 10 + 9 - 7 - 2 \times 1 $$ $$ \text{不合格并集} = 27 - 9 = 18 $$
  4. 求合格数： $$ \text{合格数} = \text{总数} - \text{不合格并集} = 52 - 18 = 34 $$

答案：A

五、高频易错点

易错点 错误表现 正确应对
忽略“都不满足” 等式左边直接写“总数”，忘记减去“都不” 先确认题目是否有“都不满足”的人数；若题目说“每人至少一项”，则“都不”为0。
漏加三项交集 标准公式算到“减去二层”就停了，忘了“加上三层” 熟记口诀：一层 − 二层 + 三层。
混淆概念 把“$A \cap B$（即同时满足A和B）”等同于“只满足两项” 两两交集包含三项交集，而只满足两项不包含三项交集。两者计算系数不同。

六、小结与刷题建议

核心要点回顾

  • 两集合：$$ \text{总} - \text{都非} = A + B - A \cap B $$
  • 三集合标准型：$$ \text{总} - \text{都非} = A + B + C - (AB + BC + AC) + ABC $$
  • 核心思想：多退少补，层层修正。

刷题建议

  • 基础巩固：两集合题目建议练习 3-5 道，确保“都不”项不漏减。
  • 重点突破：三集合标准型建议练习 5 道，训练对公式的肌肉记忆。
  • 推荐真题：2011国考、2014河北、2015陕西、2016河南、2020新疆、2022广东。