本节定位：数量关系中的“必争之地”。经济利润问题与生活息息相关，概念（进价、售价、利润）易于理解，且套路固定。掌握“赋值成本100”和“分段列表法”，能解决绝大多数题目。
一、考点概述
1. 核心概念公式（必须背熟）
| 概念 | 公式 | 备注 |
|---|---|---|
| 利润 | $$ \text{利润} = \text{售价} - \text{成本} $$ | 最基础关系 |
| 利润率 | $$ \text{利润率} = \frac{\text{利润}}{\text{成本}} = \frac{\text{售价} - \text{成本}}{\text{成本}} $$ | 分母永远是成本！ |
| 售价 | $$ \text{售价} = \text{成本} \times (1 + \text{利润率}) $$ | 常用推导式 |
| 折扣 | $$ \text{折扣} = \frac{\text{折后价}}{\text{折前价}} $$ | 八折 = $\times 0.8$ |
| 总利润 | $$ \text{总利润} = \text{单件利润} \times \text{销量} $$ | 分段销售时累加 |
2. 题型分类
- 基础公式型：已知成本、利润率等求售价。
- 分段销售型：一部分原价卖，一部分打折卖（列表法）。
- 纯百分数型：只给增长率、利润率，无具体数值（赋值法）。
二、常见设问方式
- 该商品的进价/成本是多少元？（基础题）
- 该商品的利润率/毛利率是多少？（易错题：分母是成本）
- 打折后共获利多少元？总利润是多少？（分段销售题）
- 成本上涨 $X\%$、售价上涨 $Y\%$，利润率变化多少？（纯百分数题，用赋值法）
- 最多可以降价多少元？剩余商品售价至少为多少？（逆向求解）
- 怎样定价才能使利润最大化？（函数最值题，进阶）
三、解题思路总览
1. 赋值法（无具体数值）
当题目中只出现百分数、比例，没有具体金额时：
- 默认操作：赋成本/进价为 100。
- 优势：$100 \times 20\%$ 直接得 20，避免分数运算。
2. 列表法（分段销售神器）
针对“先按原价卖，再打折卖，最后清仓”的题目，画表格梳理数据。
| 阶段 | 单价/售价 | 单件利润 | 销量 | 总利润 |
|---|---|---|---|---|
| 7月 | $1.6x$ | $0.6x$ | 200 | $120x$ |
| 8月 | $1.3x$ | $0.3x$ | 100 | $30x$ |
| 9月（清仓） | $0.7x$ | $-0.3x$（亏损） | 100 | $-30x$ |
3. 方程法（有具体数值）
当题目给出“赚了100元”、“成本50元”等具体值时，必须设 $x$ 列方程求解，不能随意赋值。
四、典型题型拆分 + 例题精讲
题型一：基础定义（方程法）
【例1】
商品打八折卖2件的利润，等于按定价卖1件的利润，也等于降价120元/件卖3件的利润。求定价？
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解析：
- 设未知数：设定价为 $x$，进价为 $y$。
- 列出利润表达式：
- 打八折利润：$0.8x - y$
- 按定价利润：$x - y$
- 降价120元利润：$(x - 120) - y$
- 建立等量关系：
由“打八折卖2件利润 = 定价卖1件利润”： $$ 2(0.8x - y) = 1(x - y) \Rightarrow 1.6x - 2y = x - y \Rightarrow y = 0.6x $$ 即进价是定价的 0.6 倍。 - 代入求解：
由“定价卖1件利润 = 降价卖3件利润”： $$ 1(x - y) = 3(x - 120 - y) $$ 代入 $y = 0.6x$： $$ x - 0.6x = 3(x - 120 - 0.6x) $$ $$ 0.4x = 3(0.4x - 120) \Rightarrow 0.4x = 1.2x - 360 $$ $$ 0.8x = 360 \Rightarrow x = 450 $$
答案：450
题型二：分段销售（列表法）
【例2】分段销售经典题（夏装销售）
购入400件。7月按进价1.6倍卖200件；8月按1.3倍卖100件；9月按0.7倍卖100件。总获利15000元。求进价？
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解析：
- 设未知数：设进价为 $x$。
- 列表计算各阶段利润：
- 7月：单件利 $0.6x$，销 200 $\Rightarrow$ 总利 $120x$。
- 8月：单件利 $0.3x$，销 100 $\Rightarrow$ 总利 $30x$。
- 9月：单件利 $-0.3x$（0.7倍是赔了0.3），销 100 $\Rightarrow$ 总利 $-30x$。
- 汇总求解： $$ 120x + 30x - 30x = 120x $$ $$ 120x = 15000 \Rightarrow x = 125 $$
答案：125
题型三：纯百分数（赋值法）
【例3】
企业收入降10%，成本降20%，原利润率20%。求现利润率？
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解析：
- 赋初值：题目全为百分数，赋原成本为 100。
- 推导相关量：
- 原收入（即原售价） $= 100 \times (1 + 20\%) = 120$。
- 现成本 $= 100 \times (1 - 20\%) = 80$。
- 现收入 $= 120 \times (1 - 10\%) = 108$。
- 求结果：
- 现利润 $= 108 - 80 = 28$。
- 现利润率 $= 28 \div 80 = 35\%$。
答案：35%
【例4】
小李四年前投资的一套商品房价格上涨了50%，由于担心房价下跌，将该商品房按市价的9折出售，扣除成交价5%的相关交易费用后，比买进时赚了56.5万元。那么，小李买进该商品房时花了多少万元？
A.200 B.250 C.300 D.350
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解析：
- 设买进价为 $x$ 万元。
- 市价为 $1.5x$，出售价（9折）为 $1.5x \times 0.9 = 1.35x$。
- 交易费用为 $1.35x \times 5\% = 0.0675x$。
- 纯利润公式：售价 - 成本 - 费用 = 净利 $$ 1.35x - x - 0.0675x = 56.5 $$ $$ 0.2825x = 56.5 \Rightarrow x = 200 $$
答案：A
【例5】
某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售可获得利润70元，如果按定价打九五折出售可获得利润100元，这款小家电进货价格所在区间是：
A.400-450元 B.450-500元 C.500-550元 D.550-600元
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解析：
- 设定价 $x$，进价 $y$。列方程组： $$ \begin{cases} 0.9x - y = 70 \\ 0.95x - y = 100 \end{cases} $$
- 两式相减：$0.05x = 30 \Rightarrow x = 600$。
- 代回求 $y$：$y = 0.9 \times 600 - 70 = 540 - 70 = 470$。
- 470元落在区间 450-500。
答案：B
【例6】成本涨幅与毛利率（百分点）
商场里某商品成本上涨了20%，售价只上涨了10%，毛利率（利润/进货价）比以前的下降了10个百分点。问原来的毛利率是多少？
A.10% B.20% C.30% D.40%
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解析：
- 赋值与设元：赋原成本 10，设原售价 $x$。
原毛利率 $= \frac{x-10}{10}$。 - 计算新情况：
新成本 $= 10 \times 1.2 = 12$；新售价 $= 1.1x$。
新毛利率 $= \frac{1.1x - 12}{12}$。 - 列方程： $$ \frac{x-10}{10} - \frac{1.1x - 12}{12} = 10\% = 0.1 $$ 两边同乘 120： $$ 12(x-10) - 10(1.1x - 12) = 12 $$ $$ 12x - 120 - 11x + 120 = 12 \Rightarrow x = 12 $$
- 求结果： 原毛利率 $= \frac{12-10}{10} = 20\%$。
答案：B
【例7】盈利目标与降价幅度（逆向）
某商场以每件80元购进衬衫500件，先以120元售出400件。要达到盈则45%的预期目标，剩余的衬衫最多可以降价多少元？
A.15元 B.16元 C.18元 D.20元
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解析：
- 算总账：
总成本 $= 80 \times 500 = 40000$。
目标总利润 $= 40000 \times 45\% = 18000$。 - 已获利：
已卖出 400 件，单件利 $120-80=40$。
已获利润 $= 400 \times 40 = 16000$。 - 缺口分析：
还需获利 $= 18000 - 16000 = 2000$。
剩余商品 $= 100$ 件。
每件需获利 $= 2000 \div 100 = 20$ 元。 - 求降价：
最低售价 $= 80 + 20 = 100$ 元。
原售价 120 元，最多降价 $120 - 100 = 20$ 元。
答案：D
【例8】
某商品利润率20%。若进货价降低20%，售价不变，此时利润率是多少？
A.40% B.30% C.60% D.50%
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解析：
- 赋值：赋原成本 100，则原售价 $= 100 \times 1.2 = 120$。
- 新情况：
新成本 $= 100 \times (1 - 20\%) = 80$。
新利润 $= 120 - 80 = 40$。 - 求利润率： $$ \text{新利润率} = \frac{40}{80} = 50\% $$
答案：D
五、高频易错点与命题陷阱
| 易错点 | 现象 | 应对方法 |
|---|---|---|
| 利润率分母错 | 把利润率分母写成“售价” | 牢记：$$ \text{利润率} = \frac{\text{利润}}{\text{成本}} $$ （资本回报率的分母永远是投入的资本）。 |
| 降价 vs 打折混淆 | “降价20%”当成减20元，或“降价20元”当成 $\times 0.8$ | 先看单位：“%”表比例，“元”表金额。 |
| 定价$\neq$售价 | 把标签价当成交价 | 售价可变（打折/满减），定价通常指初始标价。计算时以实际成交价为准。 |
| 清仓亏本漏算 | 分段销售时未把低于成本部分记为负利润 | 若 $0.7$ 倍卖出且进价为1，则利润为 $-0.3$，表格中利润务必写负数。 |
| 交易费用漏减 | 只算“售价-成本”，忽略手续费/税费 | $$ \text{纯利润} = \text{售价} - \text{成本} - \text{其他费用} $$ |
六、小结与刷题建议
核心要点
- 无单位赋100：只有百分比时，赋成本为100直接算。
- 分段卖列表格：多阶段销售必画表，累加总利润。
- 有单位列方程：出现具体金额时设 $x$ 列方程。
- 利润率分母是成本：牢记公式，避免除错。
刷题建议
- 必练题型：分段销售（含清仓亏损）、利润率变化、打折促销。
- 推荐题源：国考/联考经济利润真题，近5年（2019-2024）优先。
- 建议数量：基础公式型 5 题 + 赋值型 5 题 + 分段销售 5 题，共约 15 题。