本节定位：溶液问题虽然术语（溶质、溶液、浓度）听起来很专业，但本质上就是简单的“比例问题”。掌握“赋值溶质”和“抓不变量”两个原则，就能解决99%的考题。这是数量关系中的“纸老虎”。

一、考点概述

1. 什么是溶液问题？

溶液问题围绕溶质、溶剂、溶液、浓度四者关系展开，核心公式为：

$$ \text{浓度} = \frac{\text{溶质}}{\text{溶液}} = \frac{\text{溶质}}{\text{溶质} + \text{溶剂}} $$

  • 溶质：盐、糖、酒精（核心关键变量）
  • 溶剂：水
  • 溶液：盐水、糖水、酒水（溶质 + 溶剂）

2. 为什么要学？

  • 思路清晰：只要抓住“溶质不变”，就能解决大部分题目。
  • 公式简单：核心就一个公式，变化形式有限。
  • 迁移性强：赋值思想可直接迁移到工程、行程等题型。

二、常见设问方式

  • 【蒸发/稀释】 “浓度为 $X\%$ 的溶液，蒸发/加入若干克水后，浓度变为 $Y\%$...”
  • 【溶液混合】 “将浓度为 $X\%$ 和 $Y\%$ 的两种溶液混合，求混合后浓度...”
  • 【反复操作】 “倒出部分溶液后加满水，重复 $N$ 次后浓度为...”
  • 【多次稀释】 “加入等量的水后浓度变为 $X\%$，再加等量的水后...”
  • 【试管传递】 “倒入A试管后取出倒入B试管，再取出倒入C试管...”

三、解题思路总览

核心思想：抓住溶质不变

溶液问题的解题命门：无论蒸发还是稀释，溶质质量始终不变！
  • 蒸发水 $\rightarrow$ 溶质不变，溶液减少 $\rightarrow$ 浓度升高
  • 加水 $\rightarrow$ 溶质不变，溶液增加 $\rightarrow$ 浓度降低
  • 混合 $\rightarrow$ 溶质相加，溶液相加

题型与解法对照

题型识别特征核心解法
蒸发/稀释型加水或蒸发水，溶质不变赋值法：赋值溶质为浓度分母的公倍数
溶液混合型两种或多种浓度混合方程法：溶质相加 = 混合后总溶质
反复操作型倒出后加满水，重复多次剩余率公式：$C_{\text{末}} = C_{\text{初}} \times (1 - \text{倒出比例})^n$
试管传递型溶液在多个试管间传递追踪法：逐步追踪溶质变化、逐步计算浓度

四、核心解题技巧

1. 赋值法（解决蒸发/稀释）

当题目只给浓度（百分数），没有具体质量时，直接赋值溶质。

  • 原则：赋溶质为所有已知浓度分母的最小公倍数。
  • 演示：浓度从 $10\%$ 变为 $12\%$。  
    赋溶质为 $60$（$10$ 和 $12$ 的公倍数）。  
    则原溶液 $= 60 \div 10\% = 600$，新溶液 $= 60 \div 12\% = 500$。  
    结论：蒸发了 $100$ 的水。

2. 基础方程法（解决混合）

混合问题的本质是：总溶质 = 各部分溶质之和。

  • $$ M_{\text{总}} \times C_{\text{总}} = M_1 \times C_1 + M_2 \times C_2 + \dots $$
  • 虽然十字交叉法在两两混合时很快，但在面对“三种溶液混合”或“倒来倒去”的复杂过程时，基础方程法最稳健，不易出错。

3. 剩余率公式（解决反复操作）

如果每次倒出溶液的 $\frac{1}{n}$，再加满纯水：

  • 公式：$$ C_{\text{末}} = C_{\text{初}} \times (1 - \frac{1}{n})^k $$
  • 理解：每次操作后，溶质只剩下原来的 $(1 - \frac{1}{n})$，溶液总量不变。

五、典型题型拆分与例题精讲

题型一：蒸发稀释型

【例1】

一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10%；再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？
A.14%　　B.17%　　C.16%　　D.15%
点击查看解析

解析：

  1. 赋溶质：设溶质为 $60$（$10\%$ 与 $12\%$ 的公倍数）。
  2. 倒推溶液量：      
    第一次后溶液 $= 60 \div 10\% = 600$；      
    第二次后溶液 $= 60 \div 12\% = 500$；      
    由此可知，每次蒸发的水量 $= 600 - 500 = 100$。
  3. 第三次操作：      
    溶液 $= 500 - 100 = 400$；      
    浓度 $= 60 \div 400 = 15\%$。

答案：D

【例2】

浓度为15%的盐水若干克，加入一些水后浓度变为10%，再加入同样多的水后，浓度为多少？
A.9%　　B.7.5%　　C.6%　　D.4.5%
点击查看解析

解析：

  1. 赋值：假设盐为 $15$ 克，则初始盐水为 $100$ 克。
  2. 第一次加水：设加入水 $x$ 克。      
    $$ 15 \div (100+x) = 10\% \Rightarrow x = 50 $$
  3. 第二次再加水：再加 $50$ 克水。      
    总溶液 $= 100 + 50 + 50 = 200$ 克。      
    新浓度 $= 15 \div 200 = 7.5\%$。

答案：B

题型二：溶液混合型

【例3】

纯果汁10千克，30%浓缩还原果汁20千克。取纯果汁、浓缩还原果汁各10千克倒入10千克纯净水中，再倒入10千克浓缩还原果汁，则得到的果汁浓度为：
A.40%　　B.37.5%　　C.35%　　D.30%
点击查看解析

解析：

  1. 计算总溶质：      
    第一部分（纯果汁）：$10$      
    第二部分（取出的浓缩汁）：$10 \times 30\%$      
    第三部分（后倒入的浓缩汁）：$10 \times 30\%$      
    总溶质 $= 10 + 3 + 3 = 16$ 千克。
  2. 计算总溶液：      
    总溶液 $= 10 \text{ (纯汁)} + 10 \text{ (浓缩)} + 10 \text{ (水)} + 10 \text{ (浓缩)} = 40$ 千克。
  3. 计算浓度：      
    $$ \text{浓度} = 16 \div 40 = 40\% $$

答案：A

【例4】

面包房购买一包售价为15元/千克的白糖，取其中的一部分加水溶解形成浓度为20%的糖水12千克，然后将剩余的白糖全部加入后溶解，糖水浓度变为25%，问购买白糖花了多少元？
A.45　　B.48　　C.36　　D.42
点击查看解析

解析：

  1. 已知糖量：第一阶段含糖 $= 12 \times 20\% = 2.4$ kg。
  2. 设未知数：设剩余白糖为 $x$ kg。      
    根据最终浓度列方程：       $$ \frac{2.4 + x}{12 + x} = 25\% $$       解得 $x = 0.8$。
  3. 求解：      
    总白糖 $= 2.4 + 0.8 = 3.2$ kg。      
    总花费 $= 3.2 \times 15 = 48$ 元。

答案：B

题型三：反复操作型

【例5】

从装满100克、浓度为80%的盐水中倒出40克盐水后，加清水至满；如此操作共三次，问最终浓度：
A.11.52%　　B.17.28%　　C.28.8%　　D.48%
点击查看解析

解析：

  1. 分析比例：每次倒出 $40$ 克（即 $\frac{40}{100} = 40\%$），加满水，说明每次操作后溶质剩余率为 $1 - 40\% = 0.6$。
  2. 代入公式：       $$ \text{最终浓度} = 80\% \times (0.6)^3 = 80\% \times 0.216 = 17.28\% $$

答案：B

【例6】

从一瓶浓度为52%的酒精溶液中倒出1/3，加满纯水，再倒出1/3，又加满纯水，此时酒精溶液的浓度是多少？
A.5.8%　　B.23.1%　　C.17.3%　　D.31.5%
点击查看解析

解析：

  1. 代入公式：       $$ \text{最终浓度} = 52\% \times (1 - \frac{1}{3})^2 = 52\% \times \frac{4}{9} $$
  2. 估算：       $$ 52\% \times 0.444\dots \approx 23.1\% $$

答案：B

【例7】

一碗芝麻粉，第一次吃半碗加满水；第二次喝1/3加满水；第三次喝1/6加满水；最后一次全吃完。最后一次吃下的芝麻糊中芝麻粉含量是：
A.1/6　　B.5/6　　C.1/18　　D.5/18
点击查看解析

解析：

  1. 此题虽为“吃”和“喝”，本质仍是“倒出后加水”模型。
  2. 计算最后的溶质剩余比例：       $$ \text{剩余比例} = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{6}) $$       $$ = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{18} $$

答案：D

题型四：试管传递型

【例8】

有A、B、C三支试管分别装有10克、20克、30克的水，将某种盐溶液10克倒入A管，混合均匀后取出10克倒入B管；再次混合后，从B管取出10克倒入C管。若C管中浓度为2.5%（2016江苏A），求原盐溶液浓度。
A.40%　　B.36%　　C.60%　　D.24%
点击查看解析

解析：

  1. 分步追踪浓度变化（设原浓度为 $X$）：
    • 操作1（入A）：$10$ 克溶液进入A（原有 $10$ 克水）。          
      总量变 $20$ 克，稀释倍数为 $10 \div 20 = \frac{1}{2}$。          
      此时A中浓度 $= \frac{X}{2}$。
    • 操作2（入B）：取出 $10$ 克A溶液进入B（原有 $20$ 克水）。          
      总量变 $30$ 克，稀释倍数为 $10 \div 30 = \frac{1}{3}$。          
      此时B中浓度 $= \frac{X}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{X}{6}$。
    • 操作3（入C）：取出 $10$ 克B溶液进入C（原有 $30$ 克水）。          
      总量变 $40$ 克，稀释倍数为 $10 \div 40 = \frac{1}{4}$。          
      此时C中浓度 $= \frac{X}{6} \times \frac{1}{4} = \frac{X}{24}$。
  2. 求解：       $$ \frac{X}{24} = 2.5\% \Rightarrow X = 60\% $$

答案：C（注：若题目给出的C浓度为 $1\%$，则解得 $X=24\%$）

六、高频易错点

易错点错误表现正确应对
溶液 vs 溶剂分母误写成“水”，把浓度理解成 $\frac{\text{溶质}}{\text{溶剂}}$牢记公式：$$ \text{浓度} = \frac{\text{溶质}}{\text{溶液}(\text{溶质}+\text{溶剂})} $$
方向感错误加水时以为浓度升高，蒸发时以为浓度降低定性判断：加水 $\rightarrow$ 分母变大 $\rightarrow$ 浓度降低；蒸发 $\rightarrow$ 分母变小 $\rightarrow$ 浓度升高。
连乘公式滥用“倒出后加入盐水”也使用 $(1-\text{倒出比例})^n$警惕条件：仅在“倒出后加满纯水”时可用连乘公式；其他情形必须用方程逐步计算溶质。
试管传递漏算只看取出量，忽略倒入新试管后的稀释倍数步步为营：每一步都计算“新浓度” = “带入的溶质” $\div$ “混合后新总量”。

七、小结与刷题建议

核心要点回顾

  • 万能公式：$\text{浓度} = \text{溶质} \div \text{溶液}$。
  • 赋值技巧：题目无具体质量时，优先给溶质赋值（各浓度分母的公倍数）。
  • 紧盯溶质：稀释/蒸发过程溶质质量不变；混合时溶质相加。
  • 公式限制：连乘公式 $(1-x)^n$ 仅适用于“倒出溶液加纯水”的循环操作。

刷题建议

  • 基础阶段：先做“蒸发/稀释”与“混合”类各 2-3 题，熟练掌握赋值法与方程法。
  • 进阶阶段：攻克“反复操作”与“试管传递”各 3-5 题，重点体会“剩余率”和“分步稀释”的逻辑。
  • 推荐真题：2009国考、2014河北、2015天津、2016江苏A、2017河南选调、2017国考副省。