本节定位：数量关系中最高频的数字特性考点，几乎每套试卷必考。掌握整除判定法则和倍数特性，可以快速排除选项，大幅提升解题速度。
一、考点概述
1. 什么是整除与倍数？
- 整除：若 $A = B \times C$（B、C 均为整数），则 A 能被 B 整除，也能被 C 整除
- 倍数：A 是 B 的倍数 $\Leftrightarrow$ A 能被 B 整除
常见形式：
- 路程 = 速度 × 时间
- 工作总量 = 工作效率 × 时间
- 总价 = 单价 × 数量
2. 考查频率与难度
| 考试类型 | 出现频率 | 难度定位 |
|---|---|---|
| 国考 | 高 | 基础必考 |
| 联考/省考 | 高 | 基础必考 |
| 事业单位 | 较高 | 高频考点 |
3. 为什么要学？
- 解题提速：遇到"每人分几个"、"比例为m:n"等题型，直接用倍数特性秒杀
- 排除选项：不用计算，通过整除性直接排除错误选项
- 降低计算量：复杂题目中，整除性判断往往是突破口
二、常见设问方式
1. 整除型（关键词：倍数、平均、每）
- "有若干人平均分成若干组，每组x人……"（基础题）
- "购买若干件商品，每件x元……"（基础题）
- "某数是x的倍数……"（基础题）
2. 余数型（关键词：余、剩、多、缺）
- "平均每人分3个，还余2个……"（基础题）
- "每5人一组，还缺3人……"（易错题）
- "分成若干份后，剩下n个……"（中档题）
3. 比例型（关键词：比例、分数、百分数）
- "男女比例为3:2……"（高频题）
- "占总数的2/5……"（高频题）
- "增长了25%……"（陷阱问法）
三、解题思路总览
核心解题框架
第一步：识别题型
- 看到"倍数、平均、每" → 整除型
- 看到"余、剩、多、缺" → 余数型
- 看到"比例、分数、百分数" → 比例型
第二步：建立整除关系
- 整除型：$A = B \times C$ → A 能被 B、C 整除
- 余数型：$\text{总数} = ax + b$ → (总数 - b) 能被 a 整除
- 比例型：$a:b = m:n$（互质）→ a 是 m 的倍数，b 是 n 的倍数
第三步：验证选项
- 用整除性逐个检验选项，排除不满足条件的
- 若多个选项满足，结合其他条件进一步筛选
整除判定法则速查表
| 被除数 | 判定方法 | 记忆口诀 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 2、5 | 看末1位 | "2、5看末位" | 1234末位4能被2整除 |
| 4、25 | 看末2位 | "4、25看末两位" | 3712末两位12能被4整除 |
| 8、125 | 看末3位 | "8、125看末三位" | 24000末三位000能被8整除 |
| 3、9 | 看各位数字之和 | "3、9看数字和"（可用弃3/弃9法） | $117 \to 1+1+7=9$，能被3和9整除 |
| 7 | 截尾法：剩余数 - 个位$\times 2$ | "截尾减双倍" | $133 \to 13-3 \times 2=7$，能被7整除 |
| 11 | 奇数位和 - 偶数位和 | "奇偶位差法" | $121 \to (1+1)-2=0$，能被11整除 |
四、典型题型拆分 + 例题精讲
题型一：整除型
核心原理：若 $A = B \times C$（B、C 为整数），则 A 能被 B 或 C 整除
【例1】
某校足球比赛，共有20支队伍参赛，分成4个小组进行单循环赛。问小组赛共需比赛多少场？
A. 40 B. 45 C. 50 D. 60
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解析：
- 每组 $20 \div 4 = 5$ 支队伍
- 单循环赛场次公式：$n(n-1)/2 = 5 \times 4 / 2 = 10$ 场
- 4个小组共：$10 \times 4 = 40$ 场
答案：A
【例2】
档案室需要整理300份档案，要求每天整理的档案数量相同，且规定了完成的期限。如果要提前一天完成，那么每天需要多整理10份档案。则规定的期限为（ ）天。
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
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解析：
- 总量300份，设期限为 $x$ 天，则每天整理 $300/x$ 份。
- 由“每天整理数量相同”可知，$300$ 能被 $x$ 整除。
- 提前1天完成，即 $x-1$ 天，每天整理 $300/(x-1)$ 份。同理，$300$ 能被 $(x-1)$ 整除。
- 用整除性验证选项：
- A. $x=6$：$300$ 能被6整除（$50$），$300$ 能被5整除（$60$），差值 $60-50=10$。符合！
- B. $x=7$：$300$ 不能被7整除，排除。
答案：A
题型二：余数型
核心原理：若 $\text{总数} = ax + b$，则 (总数 - b) 能被 a 整除
关键转化：
- 分组余k人 → (总数 - k) 能被组数整除
- 分组缺k人 → (总数 + k) 能被组数整除
【例3】
考生分组，每3人或5人一组均多2人，至少多少人？
A. 17 B. 22 C. 32 D. 47
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解析：
- 设总人数为 $T$，则 $(T-2)$ 既是3的倍数，也是5的倍数。
- 即 $(T-2)$ 是3和5的公倍数。3和5的最小公倍数为15。
- 最小值：$T = 15 + 2 = 17$。
- 验证：$17-2=15$，$15 \div 3=5$ ✓，$15 \div 5=3$ ✓。
答案：A
【例4】
车间球票比电影票少，每人发3张球票余2张，发7张电影票罖6张，求球票数。
A. 32 B. 30 C. 28 D. 26
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解析：
- 条件1：球票总数余2张 → (球票数 - 2) 能被3整除。
- 选项验证：
- A. 32：$32-2=30$，能被3整除 ✓
- B. 30：$30-2=28$，不能被3整除 ✗
- C. 28：$28-2=26$，不能被3整除 ✗
- D. 26：$26-2=24$，能被3整除 ✓
- A和D都满足整除条件。需结合“球票比电影票少”验证：
- 若选A(32)：人数 $(32-2) \div 3 = 10$，电影票 $7 \times 10 - 6 = 64$，$32 < 64$（符合）
- 若选D(26)：人数 $(26-2) \div 3 = 8$，电影票 $7 \times 8 - 6 = 50$，$26 < 50$（符合）
- （注：考试中通常只有一个选项符合所有整除条件，若有两个，再代入题干其他限制。）
答案：A
题型三：比例型
核心原理：若 $a:b = m:n$（m、n 互质），则：
- $a$ 是 $m$ 的倍数
- $b$ 是 $n$ 的倍数
- $a+b$ 是 $(m+n)$ 的倍数
- $a-b$ 是 $|m-n|$ 的倍数
【例5】
足球与篮球数量比 8∶7，足球数是多少？
A. 48 B. 42 C. 36 D. 30
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解析：
- 根据比例 $8:7$（已是最简比），足球数必为 8的倍数。
- 观察选项：$48 \div 8=6$ ✓，其他选项均不是8的倍数。
答案：A
【例6】
在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果托7男5女搭配分组，则只剩下8名男员工；如果托9男5女搭配分组，则只剩下40名女员工。该公司员工总数为？
A. 446 B. 488 C. 508 D. 576
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解析：
- 分析条件：
- 托7男5女分组，刖8名男 → 男员工数 = $7m + 8$，女员工数 = $5m$。
- 托9男5女分组，剡40名女 → 男员工数 = $9n$，女员工数 = $5n + 40$。
- 整除特征：
- 由男员工数 = $9n$ 可知：男员工数必须是 9的倍数。
- 由女员工数 = $5m$ 可知：女员工数必须是 5的倍数。
- 总人数 = 男 + 女 = $9n + 5n + 40 = 14n + 40$。即 (总人数 - 40) 必须是 14的倍数。
- 代入选项验证：
- A. 446：$446 - 40 = 406$，$406 \div 14 = 29$。若 $n=29$，男=$9 \times 29 = 261$（是9的倍数），女=$446-261=185$（是5的倍数）。似乎可行？需验算第一种分组：女185人分成 $185 \div 5 = 37$ 组。男需 $37 \times 7 + 8 = 259 + 8 = 267$。$261 \neq 267$ ✗
- B. 488：$488 - 40 = 448$，$448 \div 14 = 32$。若 $n=32$，男=$9 \times 32 = 288$，女=$488-288=200$。验算第一种分组：女200人分成 $200 \div 5 = 40$ 组。男需 $40 \times 7 + 8 = 280 + 8 = 288$。$288 = 288$ ✓
答案：B
【例7】典型模拟题（差同减差）
某公司有员工若干，如果按每组3人分，则多1人；如果按每组4人分，则多2人；如果按每组5人分，则多3人。问该单位至少有多少人？
A. 48 B. 58 C. 62 D. 118
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解析：
- 分析余数：
- 除以3余1（差2：3-1=2）
- 除以4余2（差2：4-2=2）
- 除以5余3（差2：5-3=2）
- 核心口诀：“差同减差”。即 (总人数 + 2) 能被3、4、5整除（或者说 总人数 = 公倍数 - 2）。
- 3、4、5的最小公倍数是 60。
- 总人数通项公式：$T = 60n - 2$。
- 求“至少”，取 $n=1$，则 $T = 60 - 2 = 58$。
答案：B
【例8】
两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件。问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？
A. 48 B. 60 C. 59 D. 102
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解析：
- 分析条件：
- 甲刑事案件 = 甲总数 $\times 17\%$。因为案件数必须是整数，所以甲总数必须是 100的倍数。
- 乙刑事案件 = 乙总数 $\times 20\%$ = 乙总数 $\times 1/5$。乙总数必须是 5 的倍数。
- 推导甲总数：
- 两个派出所共160起。
- 甲总数是100的倍数，且小于160。
- 所以甲总数只能是 100。
- 计算乙的数据：
- 乙总数 = $160 - 100 = 60$。
- 乙非刑事 = $60 \times (1 - 20\%) = 60 \times 0.8 = 48$。
答案：A
五、高频易错点与命题陷阱
易错点1：忽略互质条件
错误：看到 $4:6$ 直接认为"第一个数是4的倍数"
正确：先化简！$4:6 = 2:3$（最简比），第一个数是2的倍数
易错点2：混淆余数方向
| 表述 | 正确处理 |
|---|---|
| "多k人" / "余k人" | 减k后整除 |
| "缺k人" / "差k人" | 加k后整除 |
易错点3：忘记验证选项
- 整除特性常用于排除错误选项
- 当多个选项都满足某一整除条件时，需要结合其他条件进一步筛选
易错点4：百分数未化简
错误：看到$62.5\%$直接用
正确：$62.5\% = 5/8$，则对应量是5的倍数，总量是8的倍数
常见百分数化简表：
| $12.5\% = 1/8$ | $25\% = 1/4$ | $33.3\% \approx 1/3$ |
| $14.3\% \approx 1/7$ | $37.5\% = 3/8$ | $16.7\% \approx 1/6$ |
| $62.5\% = 5/8$ | $75\% = 3/4$ | $87.5\% = 7/8$ |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 整除判定口诀：
- 2、5 看末1位；4、25 看末2位；8、125 看末3位
- 3、9 看各位数字之和
- 7 用截尾法；11 用奇偶位差法
- 三大题型：
- 整除型：关键词"倍数、平均、每" → 直接判断整除性
- 余数型：余k减k，缺k加k
- 比例型：化最简比，利用份数思想
- 解题策略：
- 优先用整除性排除选项
- 比例必须化成最简整数比
- 复杂题目可以代入选项验证
刷题建议
基础巩固（推荐15-20题）：
- 2012-2017年联考/省考考题
- 重点练习：比例型题目（出现频率最高）
强化提升（推荐10-15题）：
- 国考考题（难度较高）
- 综合题：同时考查多个整除条件
刷题顺序：
- 先做单一条件题（只有一个整除约束）
- 再做复合条件题（多个整除约束组合）
- 最后做综合题（整除+其他知识点）
温馨提示：倍数与整除是"秒杀"题目的利器，熟练掌握后很多题目可以10秒内出答案。建议多做练习，培养对"整除敏感词"的识别能力。