本节定位：数量关系中的"周期与分割"工具。最小公倍数是解决"多周期相遇"问题的核心，而最大公约数则是处理"均匀分割"问题的关键。
一、考点概述
1. 核心概念
| 概念 | 定义 | 通俗理解 | 数学符号 |
|---|---|---|---|
| 最大公约数 | 两个或多个整数共有约数中最大的一个 | 把几个物体切成同样大小的块，每块最大能有多大？（切分逻辑） | $(a, b)$ 或 $\gcd(a, b)$ |
| 最小公倍数 | 两个或多个整数共有倍数中最小的正整数 | 几个不同周期的人，最早在什么时候相遇？（拼凑逻辑） | $[a, b]$ 或 $\text{lcm}(a, b)$ |
举例说明：以 12 和 18 为例
- 约数（因数）：
- 12 的约数：1, 2, 3, 4, 6, 12
- 18 的约数：1, 2, 3, 6, 9, 18
- 公约数有 1, 2, 3, 6，其中最大的是 6。所以 $(12, 18) = 6$。
- 倍数：
- 12 的倍数：12, 24, 36, 48, 60, 72...
- 18 的倍数：18, 36, 54, 72...
- 公倍数有 36, 72... 其中最小的是 36。所以 $[12, 18] = 36$。
核心关系：$a \times b = (a, b) \times [a, b]$ （即：$12 \times 18 = 6 \times 36 = 216$）
2. 常见应用场景（识别关键词）
- 最小公倍数：
- 周期相遇："下次几号同时..."、"多少天后再次相遇"
- 物品补给："每3天发一次，每4天发一次..."
- 反向设值：工程问题（设总量）、行程问题（设距离）
- 最大公约数：
- 均匀分割："裁成大小相同的正方形"、"每段长度相等且最长"
- 植树间距："在两棵树之间补种..."、"调整间距，不用移动的树"（注：此处通常涉及公约数或公倍数思维）
3. 考查频率与难度
| 考试类型 | 出现频率 | 难度定位 |
|---|---|---|
| 国考 | 中 | 中等（常考日期周期） |
| 联考/省考 | 高 | 基础必考 |
| 事业单位 | 高 | 基础题 |
二、解题思路总览
1. 快速求解技巧
(1) 短除法（万能法）
求 12 和 18 的最大公约数与最小公倍数：
2 | 12 18 ----------- 3 | 6 9 ----------- 2 3 (互质)
- 最大公约数：左侧乘积 $2 \times 3 = 6$
- 最小公倍数：左侧 $\times$ 底部乘积 $2 \times 3 \times 2 \times 3 = 36$
(2) 特殊关系秒杀
- 倍数关系：若 $A$ 是 $B$ 的倍数（如 24 和 8）
- 最大公约数 = 小数 (8)
- 最小公倍数 = 大数 (24)
- 互质关系：若 $A$ 与 $B$ 互质（如 8 和 9）
- 最大公约数 = 1
- 最小公倍数 = 两数之积 (72)
2. 核心解题模型
模型一：周期相遇（求最小公倍数）
- 题目特征：甲每 $a$ 天去一次，乙每 $b$ 天去一次，问下次相遇。
- 解法：下次相遇天数 = $[a, b]$。
- 易错点："每隔 $n$ 天" = "每 $n+1$ 天"（例如：每隔1天去一次 = 每2天去一次）。
模型二：均匀分割/植树（求最大公约数）
- 题目特征：将长 $a$ 宽 $b$ 的矩形裁成最大正方形；或在全长 $L$ 的路上调整间距。
- 解法：
- 裁切边长 = $(a, b)$
- 不用移动的树间距 = $[L_1, L_2]$ （注意：这是间距的最小公倍数，用于求"重合点"）
三、典型题型拆分 + 例题精讲
题型一：周期相遇问题（最小公倍数）
核心：找循环周期，注意日期推算。
【例1】
甲、乙、丙、丁四人分别每6天、12天、18天、30天去一次图书馆。若某日四人相遇，问下一次相遇至少需多少天？
A. 60 B. 90 C. 180 D. 360
点击查看解析
解析：
- 识别考点："每...天去一次"，求"下一次相遇"，即求周期的最小公倍数。
- 求公倍数：
- 观察法：30的倍数（30, 60, 90, 120, 150, 180...）
- 180 既是6的倍数，也是12和18的倍数。
- 分解验证：
$6 = 2 \times 3$
$12 = 2^2 \times 3$
$18 = 2 \times 3^2$
$30 = 2 \times 3 \times 5$
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$。
答案：C
【例2】
某部门每隔2天（即每3天）发布一次消息，另一部门每隔3天（即每4天）发布一次。若两部门在1号同时发布，问该月最多有几天同时发布？
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
点击查看解析
解析：
- 周期转化："每隔2天" = 每3天；"每隔3天" = 每4天。
- 求公倍数：$[3, 4] = 12$。即每12天同时发布一次。
- 枚举日期：
- 第1次：1号
- 第2次：$1 + 12 = 13$号
- 第3次：$13 + 12 = 25$号
- 第4次：$25 + 12 = 37$号（超出一个月最大天数31天，排除）
- 共3天。
答案：B
题型二：分割与裁切问题（最大公约数）
核心：将大物体切成若干相同的小物体，且无剩余。
【例3】裁切问题
有一块长72厘米、宽48厘米的铁皮，将其剪成若干块同样大小的正方形且没有剩余。若正方形边长为整数，则至少能剪多少块？
A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
点击查看解析
解析：
- 分析：要剪成"同样大小的正方形"，说明边长必须是72和48的公约数。
- 求最值：要"至少"剪多少块 → 单块面积要尽可能大 → 边长要尽可能大 → 求最大公约数。
- 计算：
- $(72, 48) = 24$。
- 即最大正方形边长为24厘米。
- 求块数：
- 长边可剪：$72 \div 24 = 3$ 块
- 宽边可剪：$48 \div 24 = 2$ 块
- 总块数：$3 \times 2 = 6$ 块。
答案：A
题型三：植树间距调整（综合应用）
核心：不需要移动的树 = 处于新旧间距"最小公倍数"位置上的树。
【例4】
一条路长100米，从头到尾每隔5米栽一棵树。现在要改成每隔4米栽一棵树。问有多少棵树不需要移动？
A. 5 B. 6 C. 20 D. 21
点击查看解析
解析：
- 分析：树不需要移动，意味着它原本的位置和新位置重合。
- 找重合点：
- 原位置：0, 5, 10, 15...（5的倍数）
- 新位置：0, 4, 8, 12...（4的倍数）
- 重合位置：既是5的倍数，也是4的倍数 → 20的倍数（5和4的最小公倍数）。
- 计算个数：
- 在100米范围内，20的倍数有：0, 20, 40, 60, 80, 100。
- 注意：题目说"从头到尾"，0米处（起点）也算一棵（两端植树模型）。
- 共 $100 \div 20 + 1 = 6$ 棵。
答案：B
题型四：赋值法中的应用（反向设值）
核心：工程总量或路程未知时，设为时间的最小公倍数，避免分数运算。
【例5】
一项工作甲单独完成霉16小时，乙霉12小时。现按"甲1小时 → 乙1小时"的顺序轮流工作，问完成需多少时间？
A. 13小时45分 B. 13小时 C. 14小时 D. 14小时30分
点击查看解析
解析：
- 设总量：设工作总量为 $[16, 12] = 48$。
- 求效率：甲效率 $= 48/16 = 3$，乙效率 $= 48/12 = 4$。
- 分析周期：
- 一个周期（甲1小时+乙1小时=2小时）完成 $3+4=7$。
- $48 \div 7 = 6$ 个周期 ... 余 6。
- 已用时间：$6 \times 2 = 12$ 小时。
- 处理余数：剩余 6 工作量。
- 第13小时：甲做 3，剩 3。
- 第14小时：乙做 3，乙效率为4，需 $3/4$ 小时 $= 45$ 分钟。
- 总时间：$12 + 1 + 0.75 = 13$小时45分。
答案：A
四、高频易错点与命题陷阱
易错点1：混淆"每隔n天"与"每n天"
- "每n天去一次"：周期 = $n$。
- "每隔n天去一次"：周期 = $n+1$。
- 助记：每隔1天 = 1号去，3号去（中间隔2号）= 每2天去一次。
易错点2：忽略植树问题的"加1"
- 求植树棵数或重合点个数时，如果是"两端都植树"的模型（从头到尾），结果是 $\text{总长} \div \text{间距} + 1$。
- 如果是环形植树或一端植树，则不需要加1。
易错点3：裁切问题误求周长公约数
- 裁切正方形看的是边长的公约数，不是面积或周长的关系。
- 算块数时，要分别算长能切几块、宽能切几块，再相乘（不是相加）。
五、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 周期相遇：找最小公倍数。
- 均匀裁切：找最大公约数。
- 间距调整：找最小公倍数（确定重合点）。
- 工程赋值：设总量为时间的最小公倍数。
刷题建议
- 基础题：练习短除法求GCD和LCM，确保准确率100%。
- 进阶题：重点练习"每隔n天"的日期推算题，以及"植树不用移动"的题型。
- 技巧题：在工程、行程问题中尝试用最小公倍数设特值，体验其便利性。