本节定位：数量关系中的"速算与规律"模块。尾数规律是解决高次幂计算的秒杀技，而幂次大小比较则是数字推理和不等式判断的重要工具。

一、考点概述

1. 核心概念

概念定义通俗理解应用场景
幂次尾数形如 $a^n$ 的运算结果的个位数字不管底数多大、指数多高，我只关心结果的"最后一位"是几求高次幂的个位、多项式和的个位
幂次比较判断 $a^n$ 与 $b^m$ 的大小关系比较两个"爆炸式增长"的数字谁更大数字推理、资料分析中的增长量比较

举例说明：

  • 幂次尾数：
    • $12^{3}$ 的尾数，其实就是 $2^3 = 8$。我们不需要算出 $12 \times 12 \times 12 = 1728$，只看个位即可。
    • $7^{4}$ 的尾数，就是 $7 \times 7 \times 7 \times 7 \rightarrow 9 \times 9 \rightarrow 1$。
  • 幂次比较：
    • 比较 $2^{30}$ 和 $3^{20}$。直观很难看出来。
    • 转化为 $(2^3)^{10} = 8^{10}$ 和 $(3^2)^{10} = 9^{10}$。
    • 显然 $9^{10} > 8^{10}$，所以 $3^{20}$ 更大。

2. 考查频率与难度

考试类型出现频率难度定位
国考中中等（常结合日期或大数计算）
联考/省考高基础必考
事业单位高基础题

二、解题思路总览

1. 幂次尾数循环规律（必须熟记）

数字 0-9 的幂次尾数具有周期性循环特征：

循环周期底数尾数规律序列记忆口诀
T = 10, 1, 5, 6不变"0156" 永不变
T = 24, 94: 4, 6
9: 9, 1		"49" 奇偶变（奇同偶异）
指数奇数尾同底，偶数尾变异
T = 42, 3, 7, 82: 2, 4, 8, 6
3: 3, 9, 7, 1
7: 7, 9, 3, 1
8: 8, 4, 2, 6		"2378" 四循环

解题步骤：

  1. 看底数：取底数的个位。
  2. 算余数：指数 $\div$ 周期（通常除以4），得余数 $r$。
  3. 定尾数：
    • 若 $r \neq 0$，取序列第 $r$ 位。
    • 若 $r = 0$（整除），取序列最后一位。

2. 幂次大小比较技巧

(1) 化同底法

利用 $8 = 2^3, 9 = 3^2, 16 = 2^4$ 等关系，将不同底数转化为相同底数。

  • 例：比较 $8^{10}$ 与 $4^{16}$
    • $8^{10} = (2^3)^{10} = 2^{30}$
    • $4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}$
    • $2^{30} < 2^{32}$，故 $8^{10} < 4^{16}$。

(2) 化同指法

将指数化为公约数形式，比较底数。

  • 例：比较 $3^{30}$ 与 $4^{20}$
    • 指数公约数为 10。
    • $3^{30} = (3^3)^{10} = 27^{10}$
    • $4^{20} = (4^2)^{10} = 16^{10}$
    • $27 > 16$，故 $3^{30} > 4^{20}$。

(3) 中间值/放缩法

当无法直接转化时，找一个中间数。

  • 例：比较 $1.1^5$ 与 $0.9^6$
    • $1.1 > 1 \rightarrow 1.1^5 > 1$
    • $0.9 < 1 \rightarrow 0.9^6 < 1$
    • 故 $1.1^5 > 0.9^6$。

三、典型题型拆分 + 例题精讲

题型一：求单一幂次尾数

核心：找周期，算余数。

【例1】

$2017^{2017}$ 的个位数字是？
   A. 1　　B. 3　　C. 7　　D. 9
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解析：

  1. 取底数：只看个位 7。
  2. 定周期：7 的周期是 4（序列：7, 9, 3, 1）。
  3. 算余数：$2017 \div 4 = 504 \cdots 1$。
  4. 找对应：余数为 1，对应序列第 1 位，即 7。

答案：C

题型二：多项式尾数求和

核心：分别求尾数，再求和取个位。

【例2】

$1^{2017} + 3^{2015} + 5^{2018} + 7^{2016} + 9^{2019}$ 的个位数字是多少？
   A. 1　　B. 3　　C. 5　　D. 7
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解析：

  1. 逐项分析：
    • $1^{2017} \to 1$（恒为1）
    • $3^{2015} \to 2015 \div 4$ 余 3 $\to$ 3的第3位是 7
    • $5^{2018} \to 5$（恒为5）
    • $7^{2016} \to 2016 \div 4$ 余 0 $\to$ 7的第4位是 1
    • $9^{2019} \to 2019$ 是奇数 $\to$ 9的奇次幂尾数是 9
  2. 求和：$1 + 7 + 5 + 1 + 9 = 23$。
  3. 取个位：3。

答案：B

题型三：幂次大小比较

核心：同底或同指变换。

【例3】模拟题

比较 $3^{55}$, $4^{44}$, $5^{33}$ 的大小关系。
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解析：

  1. 观察指数：55, 44, 33 都是 11 的倍数。
  2. 化同指：
    • $3^{55} = (3^5)^{11} = 243^{11}$
    • $4^{44} = (4^4)^{11} = 256^{11}$
    • $5^{33} = (5^3)^{11} = 125^{11}$
  3. 比较底数：$256 > 243 > 125$。
  4. 结论：$4^{44} > 3^{55} > 5^{33}$。

题型四：幂次数列（数字推理）

核心：识别修正幂次（幂次 $\pm$ 常数）。

【例4】

15, 26, 35, 50, 63, ( )
   A. 74　　B. 78　　C. 82　　D. 90
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解析：

  1. 观察特征：数字都在平方数附近。
    • $15 = 4^2 - 1$
    • $26 = 5^2 + 1$
    • $35 = 6^2 - 1$
    • $50 = 7^2 + 1$
    • $63 = 8^2 - 1$
  2. 找规律：底数是 4, 5, 6, 7, 8 的连续整数；修正项是 -1, +1 交替。
  3. 推导下一项：应为 $9^2 + 1 = 81 + 1 = 82$。

答案：C

四、高频易错点与命题陷阱

易错点1：整除时取第0位

  • 错误：$7^4 \div 4$ 余 0，认为尾数是 0 或 1（第1位）。
  • 正确：余数为 0，代表循环结束，应取最后一位。7的第4位是 1。

易错点2：忽略指数 0 的情况

  • 规则：非零数的 0 次幂都等于 1。
  • 例：$2017^0$ 的个位是 1，不是 7。

易错点3：负数幂的奇偶性

  • $(-2)^3 = -8$（负数），$(-2)^4 = 16$（正数）。
  • 底数为负时，先判断符号，再算数值。

五、小结与刷题建议

核心要点回顾

  1. 尾数循环：49两循环，2378四循环，0156永不变。
  2. 周期判定：余几取第几，整除取最末。
  3. 大小比较：化同底或化同指，找中间值。
  4. 常见平方数：熟记 1-20 的平方数（如 $19^2=361$）。

刷题建议

  • 基础题：练习10道求 $a^n$ 尾数的题目，做到秒出。
  • 进阶题：找几道涉及多项式求和（如 $1^n + 2^n + \dots$）的题目，练习求和取尾。
  • 数推题：练习识别“平方数 $\pm$ 1”或“立方数 $\pm$ 1”的数列特征。