本节定位：数量关系中有关"数"的构成最核心的概念。质数与合数的性质常作为解题的隐藏条件（如奇偶性、范围限制）出现，而因数分解则是解决约数倍数问题的根本工具。
一、考点概述
1. 什么是质数与合数？
基本定义：
- 质数（素数）：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。
例如：2, 3, 5, 7, 11... - 合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，还能被其他自然数整除的数。
例如：4, 6, 8, 9, 10...
特别规定：
- 1 既不是质数，也不是合数。
- 0 既不是质数，也不是合数（通常公考只讨论正整数）。
- 2 是最小的质数，也是唯一的偶质数。
- 4 是最小的合数。
2. 什么是因数分解？
定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
算术基本定理（唯一分解定理）：任何一个大于1的自然数 $N$，都可以唯一地分解为有限个质数的乘积：
$$N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}$$
其中 $p_1, p_2, \dots$ 是质数，$a_1, a_2, \dots$ 是正整数指数。
3. 考查频率与难度
| 考试类型 | 出现频率 | 难度定位 |
|---|---|---|
| 国考 | 中 | 中等偏难（常结合不定方程） |
| 联考/省考 | 中 | 基础（常考性质） |
| 事业单位 | 较高 | 基础必考 |
4. 为什么要学？
- 挖掘隐含条件：题目说"两个质数之和..."，往往隐含了奇偶性线索。
- 解决计数问题：求约数个数、计算乘积组合，必须用到因数分解。
- 数字敏感度：快速识别91, 119等伪质数，避免计算陷阱。
二、常见设问方式
1. 性质判断型
- "下列哪个数是质数..."
- "两个质数的和是..."
2. 因数倍数型
- "某数有多少个正约数..."
- "将某数分解为几个质数的乘积..."
3. 综合构造型
- "满足条件的最小合数是..."
- "三个质数之积最大为..."
三、解题思路总览
1. 100以内质数表（25个）
必须熟记，这是解题的基础：
| 范围 | 质数 | 个数 |
|---|---|---|
| 1-10 | 2, 3, 5, 7 | 4 |
| 11-20 | 11, 13, 17, 19 | 4 |
| 21-30 | 23, 29 | 2 |
| 31-40 | 31, 37 | 2 |
| 41-50 | 41, 43, 47 | 3 |
| 51-60 | 53, 59 | 2 |
| 61-70 | 61, 67 | 2 |
| 71-80 | 71, 73, 79 | 3 |
| 81-90 | 83, 89 | 2 |
| 91-100 | 97 | 1 |
记忆口诀：二三五七一十一...（建议直接背数字，尤其是90以内的）
重点注意：91 ($7 \times 13$), 119 ($7 \times 17$), 51 ($3 \times 17$), 57 ($3 \times 19$) 都是合数，容易误判为质数。
2. 核心公式与定理
(1) 约数个数公式
若 $N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}$，则 $N$ 的正约数个数 $d(N)$ 为：
$$d(N) = (a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times \cdots \times (a_k + 1)$$
示例：$12 = 2^2 \times 3^1$，约数个数 $= (2+1)(1+1) = 3 \times 2 = 6$ 个（即 1, 2, 3, 4, 6, 12）。
⚠️ 严重警告：公式中的底数 $p_i$ 必须是质数！
错误示范：把 72 分解为 $8 \times 9$，算出约数个数 $(1+1)(1+1)=4$ 个，这是完全错误的！
正确做法：$72 = 2^3 \times 3^2$，约数个数 $(3+1)(2+1) = 12$ 个。
(2) 约数和公式（了解即可）
约数之和 $\sigma(N) = (p_1^0 + p_1^1 + \dots + p_1^{a_1}) \times \dots \times (p_k^0 + p_k^1 + \dots + p_k^{a_k})$
3. 质数核心性质
- 奇偶性：除了2是偶数，其余所有质数都是奇数。
- 尾数特征：除了2和5，其余质数的个位只能是 1, 3, 7, 9。
- 整除性：质数只有1和本身两个因数。
四、典型题型拆分 + 例题精讲
题型一：质数性质综合（奇偶性）
核心考点：看到"质数" + "和/差"，立刻联想 2。
【例1】
7个连续质数的和为58，求最小质数。
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解析：
- 奇偶分析：58是偶数。
- 若7个质数都是奇数，则 奇 $\times$ 7 = 奇数 $\neq$ 58。
- 所以这7个质数中必有偶质数 2。
- 2是最小的质数，且题目说是"连续质数"。由于除了2以外的偶数都是合数，如果2不排在第一个，数列中间就会出现其他偶数（不连续）。因此，2 一定是最小的那个。
- 验证：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17。求和：$2+3+5+7+11+13+17 = 58$。符合。
答案：2
【例2】
三个质数的和为80，求它们乘积的最大值。
A. 2316 B. 2866 C. 3034 D. 3214
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解析：
- 奇偶分析：80是偶数。
- 三个数之和为偶数 → 必为"3偶"或"1偶2奇"。
- 质数中只有2是偶数。若3个都是偶数，则 $2+2+2=6 \neq 80$，排除。
- 所以必是 1个偶质数 + 2个奇质数。即其中一个是 2。
- 设另外两个质数为 $a, b$，则 $2 + a + b = 80 \Rightarrow a + b = 78$。
- 求乘积最大：和一定，差小积大。让 $a, b$ 尽量接近 $78/2 = 39$。
- 39不是质数。往两边找：
- 37 (质数) 和 41 (质数)。$37+41=78$，符合。
- 乘积：$2 \times 37 \times 41 = 3034$。
答案：C
题型二：因数分解与约数个数
核心考点：熟练使用分解定理和约数个数公式。
【例3】
若自然数 $n$ 有10个正约数，求 $n$ 的最小值。
A. 48 B. 60 C. 128 D. 512
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解析：
- 约数个数公式逆用：$d(n) = 10$。
- 把10拆分为整数的乘积，有两种拆法：
- 拆法1：$10 = 10$ (即 $a_1+1=10 \Rightarrow a_1=9$)
对应 $n = p^9$。为使 $n$ 最小，取最小质数 $p=2$。
$n = 2^9 = 512$。 - 拆法2：$10 = 5 \times 2$ (即 $a_1+1=5, a_2+1=2 \Rightarrow a_1=4, a_2=1$)
对应 $n = p_1^4 \times p_2^1$。核心策略：大的指数给小的底数。
取 $p_1=2, p_2=3$。
$n = 2^4 \times 3^1 = 16 \times 3 = 48$。
- 拆法1：$10 = 10$ (即 $a_1+1=10 \Rightarrow a_1=9$)
- 比较：$48 < 512$。所以最小值为48。
答案：A
【例4】因数个数计算
求数字 720 有多少个正约数？
A. 20 B. 24 C. 30 D. 36
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解析：
- 分解质因数：
- $720 = 72 \times 10 = 8 \times 9 \times 2 \times 5$
- $= 2^3 \times 3^2 \times 2^1 \times 5^1$
- $= 2^4 \times 3^2 \times 5^1$
- 套用公式：
- 指数分别是 4, 2, 1。
- 约数个数 $= (4+1)(2+1)(1+1) = 5 \times 3 \times 2 = 30$。
答案：C
题型三：质数判定与构造
核心考点：利用尾数排除法和整除判定。
【例5】伪质数识别
下列四个数中，哪个是质数？
A. 51 B. 91 C. 119 D. 97
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解析：
- A. 51：各位和 $5+1=6$，能被3整除。$51 = 3 \times 17$。合数。
- B. 91：经典伪质数。$91 = 7 \times 13$。合数。
- C. 119：$120 = 6 \times 20$，尝试附近的质数7。$119 \div 7 = 17$。合数。
- D. 97：100以内最大的质数。
答案：D
五、高频易错点与命题陷阱
易错点1：把 1 当作质数
错误：认为最小的质数是1。
正确：1 既不是质数也不是合数，最小的质数是 2。
易错点2：把偶数排除出质数
错误：认为所有偶数都是合数。
正确：2 是唯一的偶质数，不能一看到偶数就说是合数。
易错点3：把奇数误认为质数
错误：看到9, 91, 119等奇数，直觉认为是质数。
正确：奇数 $\neq$ 质数。务必熟记"91, 119, 133, 143"等常见伪质数。
- $91 = 7 \times 13$
- $119 = 7 \times 17$
- $133 = 7 \times 19$
- $143 = 11 \times 13$
- $1001 = 7 \times 11 \times 13$（"千零一"，数字推理常客）
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 基本概念：1非质非合，2是最小质数且唯一偶质数。
- 熟记列表：100以内的25个质数。
- 约数公式：先分解质因数，再指数加1互乘。
- 解题直觉：
- 看到"质数和"考虑奇偶性（是否含2）。
- 看到"约数个数"考虑因数分解。
刷题建议
- 基础巩固：重点练习100以内质数的快速识别，练习简单的约数个数计算。
- 强化提升：做几道涉及"质数和积"的不定方程真题，尝试构造类题目（如"最少约数"）。
- 温馨提示：质数问题虽然纯考计算的不多，但它是数字推理和不定方程的"隐形杀手"。记住 2、91、119 这几个关键数，能帮你避开80%的坑。