本节定位：数量关系中的重要数字特性考点，与整除性互为表里。掌握余数运算规则和同余思想，可以快速定位答案范围，解决分组、周期等常见问题。
一、考点概述
1. 什么是余数？
基本定义：对于整数 $a$ 和正整数 $m$，存在唯一的整数 $q$ 和 $r$，使得：
$$a = m \times q + r \quad (0 \leq r < m)$$
- $a$：被除数
- $m$：除数（模数）
- $q$：商
- $r$：余数
示例：$17 \div 5 = 3 \cdots 2$，即 $17 = 5 \times 3 + 2$，余数为 2
2. 什么是同余？
基本定义：若整数 $a$ 和 $b$ 除以正整数 $m$ 的余数相同，则称 $a$ 与 $b$ 关于模 $m$ 同余，记作：
$$a \equiv b \pmod{m}$$
等价表述：$a \equiv b \pmod{m}$ $\Leftrightarrow$ $(a - b)$ 能被 $m$ 整除
示例：$17 \div 5$ 余 2，$22 \div 5$ 余 2，所以 $17 \equiv 22 \pmod{5}$
3. 考查频率与难度
| 考试类型 | 出现频率 | 难度定位 |
|---|---|---|
| 国考 | 较高 | 中等偏难 |
| 联考/省考 | 较高 | 中等 |
| 事业单位 | 中 | 基础-中等 |
4. 为什么要学？
- 快速筛选：根据余数条件直接排除不满足的选项
- 周期问题：日期、星期、循环等问题的核心工具
- 综合应用：与整除、方程、最值等知识点联合考查
二、常见设问方式
1. 分组余数型（关键词：余、剩、多）
- "若干人分组，每5人一组余3人……"（基础题）
- "分成若干份后，剩下n个……"（基础题）
- "物品分给若干人，每人多出2个……"（易错题）
2. 多条件余数型（关键词：同时满足）
- "除以3余2，除以5余4，求最小的数……"（中档题）
- "满足多个余数条件的最小正整数……"（中档题）
- "符合所有分组条件的人数……"（综合题）
3. 周期余数型（关键词：第几次、星期几）
- "今天星期三，100天后是星期几……"（高频题）
- "按规律循环，第N个是什么……"（高频题）
- "灯光按固定周期变化，某时刻的状态……"（陷阱题）
三、解题思路总览
1. 代入排除法（最优先）
在公考中，90%的余数题目可以通过直接代入选项解决。这是最快、最稳妥的方法，尤其是对于多条件余数题目。
2. 余数运算法则
余数可以"先取余，再运算"，具体规则如下：
| 运算类型 | 运算法则 | 示例 |
|---|---|---|
| 加法 | $(a + b) \bmod m = [(a \bmod m) + (b \bmod m)] \bmod m$ | $(17+22) \bmod 5 = (2+2) \bmod 5 = 4$ |
| 减法 | $(a - b) \bmod m = [(a \bmod m) - (b \bmod m) + m] \bmod m$ | $(22-17) \bmod 5 = (2-2) \bmod 5 = 0$ |
| 乘法 | $(a \times b) \bmod m = [(a \bmod m) \times (b \bmod m)] \bmod m$ | $(17 \times 22) \bmod 5 = (2 \times 2) \bmod 5 = 4$ |
| 幂次 | $a^n \bmod m = (a \bmod m)^n \bmod m$ | $17^3 \bmod 5 = 2^3 \bmod 5 = 3$ |
核心应用：计算大数除以小数的余数时，可以先将大数分解，分别取余后再运算。
【运算示例】
求 $123456 \times 789$ 除以 7 的余数：
- $123456 \bmod 7$：$123456 = 7 \times 17636 + 4$，余数为 4
- $789 \bmod 7$：$789 = 7 \times 112 + 5$，余数为 5
- 乘积余数：$4 \times 5 = 20$，$20 \bmod 7 = 6$
答案：余数为 6
2. 同余三大口诀
公考中常见三种特殊的余数情形，可用口诀快速处理：
| 口诀 | 条件 | 结论 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 余同加余 | 除以不同数，余数相同 | 答案 = 最小公倍数 $\times k$ + 余数 | $\div 3$余2，$\div 5$余2 → 答案$=15k+2$ |
| 差同减差 | 除以不同数，除数与余数的差相同 | 答案 = 最小公倍数 $\times k$ - 差 | $\div 3$余1，$\div 5$余3（差都是2）→ 答案$=15k-2$ |
| 和同加和 | 除数与余数之和相同 | （不推荐记忆，建议直接代入选项） | - |
口诀详解
① 余同加余：余数相同时最简单
- 条件：$\div a$ 余 $r$，$\div b$ 余 $r$
- 公式：$N = [a, b] \times k + r$（$k$为非负整数）
- 最小正整数：$N = r$（当 $r > 0$）或 $N = [a, b]$（当 $r = 0$）
② 差同减差：除数减余数相同
- 条件：$\div a$ 余 $r_1$，$\div b$ 余 $r_2$，且 $a - r_1 = b - r_2 = d$
- 公式：$N = [a, b] \times k - d$（$k$为正整数）
- 最小正整数：$N = [a, b] - d$
3. 逐步约束法（万能方法）
当口诀不适用时，使用逐步约束法：
- 根据第一个条件列出满足条件的数：$N = a \times k + r_1$
- 代入第二个条件筛选：逐一验证哪些数满足第二个余数条件
- 找出规律：确定满足所有条件的数的通项公式
四、典型题型拆分 + 例题精讲
题型一：单条件余数问题
核心方法：直接应用余数定义，列出符合条件的数
【例1】基础应用
某校学生排队，每行站7人则多出3人，问学生总数除以7余几？
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
点击查看解析
解析：
- “每行7人多出3人” → 总人数除以7余3
- 直接得出答案
答案：C
【例2】中国剩余定理 · 基础应用
一筐鸡蛋，3个3个数余1，4个4个数余1。这筐鸡蛋最少有多少个？
A. 12 B. 13 C. 25 D. 37
点击查看解析
解析：
- 余同加余：两个条件都是“余1”。
- 公式：$N = [3, 4] \times k + 1 = 12k + 1$。
- 求最小值：
- 当 $k=1$ 时，$N=13$。
- 验证：$13 \div 3 = 4 \cdots 1$，$13 \div 4 = 3 \cdots 1$。
答案：B
题型二：多条件余数问题（余同/差同）
核心方法：判断是否符合"余同加余"或"差同减差"口诀
【例3】余同加余
一个数除以3余2，除以5余2，除以7余2，求满足条件的最小正整数。
A. 2 B. 107 C. 105 D. 212
点击查看解析
解析：
- 识别类型：三个条件余数都是2 → “余同加余”
- 求最小公倍数：$[3, 5, 7] = 105$
- 套用公式：$N = 105k + 2$
- 最小正整数：$k=0$ 时，$N = 2$
答案：A
【例4】差同减差 · 典型题
老王围着边长20米的正方形地块跑步，每跑一圈用时64秒，每跑8秒就放一个标记物。跑两圈后，标记物共有几堆？
A. 4 B. 5 C. 8 D. 16
点击查看解析
解析：
- 一圈周长：$20 \times 4=80$米，用时64秒。
- 每8秒放一次，共放标记次数：$(64 \times 2) \div 8=16$次。
- 跑步速度：$80 \div 64=1.25$米/秒，即8秒跑10米。
- 标记物在跑道上的位置（距离起点）：10, 20, 30, …, 160 米。
- 位置转化为对周长80取余：10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 0（$80 \equiv 0$）。
- 第二圈时，位置取余依然是 10, 20, ..., 0。重复出现。
- 共8个不同位置（8堆）。
答案：C
【例5】差同减差 · 经典题型
一个数除以5余4，除以6余5，除以7余6，求满足条件的最小正整数。
A. 29 B. 59 C. 119 D. 209
点击查看解析
解析：
- 识别类型：
- $\div 5$余4 → 差 $= 5-4 = 1$
- $\div 6$余5 → 差 $= 6-5 = 1$
- $\div 7$余6 → 差 $= 7-6 = 1$
- 三个差都是1 → “差同减差”
- 求最小公倍数：$[5, 6, 7] = 210$
- 套用公式：$N = 210k - 1$
- 最小正整数：$k=1$ 时，$N = 210 - 1 = 209$
答案：D
题型三：周期余数问题
核心方法：确定周期$T$，用 $n \bmod T$ 确定位置
【例6】星期问题
今天是星期三，问100天后是星期几？
A. 星期一 B. 星期二 C. 星期五 D. 星期六
点击查看解析
解析：
- 星期以7天为周期。
- $100 \div 7 = 14 \cdots 2$，即100天后相当于过了2天。
- 星期三 + 2天 = 星期五。
答案：C
【例7】循环问题
一串彩灯按"红红黄蓝绿绿"的顺序循环排列，问第89盏灯是什么颜色？
A. 红 B. 黄 C. 蓝 D. 绿
点击查看解析
解析：
- 一个周期6盏灯：红(1)、红(2)、黄(3)、蓝(4)、绿(5)、绿(6)。
- $89 \div 6 = 14 \cdots 5$。
- 余数5对应第5个位置 → 绿色。
答案：D
【例8】年份问题
2016年6月1日是星期三，问2017年6月1日是星期几？
A. 星期三 B. 星期四 C. 星期五 D. 星期六
点击查看解析
解析：
- 判断经过的天数：2016.6.1 到 2017.6.1，这段时间不包含2月29日（2016年2月29日已过）。
- 因此，这一整年是平年长度，共365天。
- $365 \div 7 = 52 \cdots 1$。
- 星期三 + 1天 = 星期四。
答案：B
题型四：逐步约束法
适用情形：不满足"余同"或"差同"条件，需要逐步筛选
【例9】典型题
一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3。这样的三位数最大是多少？
A. 979 B. 987 C. 997 D. 992
点击查看解析
解析：
- 代入排除法（最快）：
- 验证 $\div 5$ 余 2：末位必须是 2 或 7。选项A、B、C、D均符合。
- 验证 $\div 4$ 余 3：除以4看末两位。$97 \div 4 = 24 \cdots 1$（排除C）；$92 \div 4 = 23 \cdots 0$（排除D）。剩余A、B。
- 验证 $\div 9$ 余 7：看各位数字之和。A项 $9+7+9=25 \to 25 \div 9 = 2 \cdots 7$（符合）。B项 $9+8+7=24 \to 24 \div 9 = 2 \cdots 6$（排除）。
答案：A
【例10】中国剩余定理应用
有一堆苹果，3个3个数余2，5个5个数余3，7个7个数余4，问这堆苹果至少有多少个？
A. 53 B. 68 C. 74 D. 158
点击查看解析
解析：
- 条件：$N \equiv 2 \pmod{3}$，$N \equiv 3 \pmod{5}$，$N \equiv 4 \pmod{7}$
- 逐步约束：
- 由 $N \equiv 2 \pmod{3}$：$N \in \{2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, \ldots\}$
- 筛选满足 $N \equiv 3 \pmod{5}$（个位是3或8）：8, 23, 38, 53, 68...
- 再筛选满足 $N \equiv 4 \pmod{7}$：$53 \div 7 = 7 \cdots 4$ ✓
- 最小值为53。
答案：A
五、高频易错点与命题陷阱
易错点1：余数与"缺"的混淆
| 表述 | 数学含义 | 正确处理 |
|---|---|---|
| "每5人一组余3人" | $N \div 5$ 余 3 | $N = 5k + 3$ |
| "每5人一组缺2人" | $N \div 5$ 余 3（因为$5-2=3$） | $N = 5k + 3$ 或 $N = 5k - 2$ |
口诀："缺几"等于"余（除数-几）"
易错点2：口诀适用条件判断错误
错误：看到两个余数条件就套"余同加余"
正确：必须检查余数是否真的相同
- $\div 3$余2，$\div 5$余2 → 余同 ✓
- $\div 3$余2，$\div 5$余4 → 检查差：$3-2=1$，$5-4=1$ → 差同 ✓
- $\div 3$余1，$\div 5$余3 → 余不同，差不同，需逐步约束。
易错点3：周期问题起点计数错误
正确方法：
- 如果余数为0，对应周期的最后一个位置。
- 例：周期为7，第14天 → $14 \div 7=2 \cdots 0$ → 对应第7个位置（不是第0个）。
易错点4：减法余数出现负数
错误：$(2 - 5) \bmod 7 = -3$
正确：$(2 - 5) \bmod 7 = (2 - 5 + 7) \bmod 7 = 4$
规则：余数必须是非负数，负数要加上除数变正。
易错点5：忽略"最小正整数"的限制
常见问题：公式计算出的结果可能是0或负数，需调整 $k$ 值。
- 例如 $N = 15k - 3$，当 $k=0$ 时 $N=-3$（不符题意）。需取 $k=1$，得 $N=12$。
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 余数运算法则：加减乘可"先取余"，减法负数变正。
- 同余三大口诀：
- 余同加余：$N = [a,b]k + r$
- 差同减差：$N = [a,b]k - d$
- 万能方法：逐步约束法（根据条件逐层筛选）。
刷题建议
- 基础巩固：单条件余数题、周期余数题（15-20题）。
- 强化提升：多条件余数题（熟练运用三大口诀）。
- 温馨提示：做题先看口诀，不符口诀直接用逐步约束法或代入排除法。