本节定位：天平称重问题是行测中偶尔出现的逻辑推理类题型，核心是掌握“找次品”的三分法和“砝码分物”的递推思想。公式简洁，思路清晰，掌握后可快速得分。
一、考点概述
1. 天平称重问题的分类
- 找次品问题：从外观相同的物品中找出唯一重量不同的次品（通常已知比其他轻或重）。
- 砝码分物问题：用给定砝码将物品均分成若干份，求最少称量次数。
- 不等臂天平问题：天平左右臂不等长时的称量误差分析。
2. 核心结论
前提：已知次品比真品重（或轻）。
$N$ 次称量最多可以从 $3^N$ 个物品中找出次品。
反过来：若有 $M$ 个物品，至少需要称量 $k$ 次，其中 $k$ 满足 $3^{k-1} < M \le 3^k$。
二、常见设问方式
- 【找次品-最少次数】“$N$ 个外观相同的物品中有 1 个略重/略轻，用天平至少称几次可找出？”
- 【找次品-最多物品】“用天平称 $N$ 次，最多能从多少个物品中找出次品？”
- 【砝码分物】“有 $X$ 克和 $Y$ 克砝码各一个，将 $Z$ 克物品均分 $M$ 份，最少称几次？”
- 【不等臂天平】“粮店用不等臂天平和砝码称物，顾客实际得到多少？”
三、解题思路总览
1. 找次品问题
核心公式
| 公式 | 说明 |
|---|---|
| $N$ 次称量 → 最多验证 $3^N$ 个物品 | 1 次 → 3 个，2 次 → 9 个，3 次 → 27 个，4 次 → 81 个 |
| $M$ 个物品 → 至少称 $k$ 次，其中 $3^{k-1} < M \le 3^k$ | 即 $k = \lceil \log_3 M \rceil$（向上取整） |
三分法策略
- 将物品尽量均分为三组（若不能均分，使其中两组数量相同且尽可能大）。
- 称量其中两组（相同数量的那两组）：
- 若平衡 → 次品在第三组（未称量的那组）。
- 若不平衡 → 次品在较重/较轻的那组（根据已知条件判断）。
- 对含次品的组递归执行上述步骤。
2. 砝码分物问题
三步法
- 第一步：用原有砝码称出初始重量。
- 第二步：用“砝码 + 已称物品”称出更大重量。
- 第三步：用“已称物品”作为砝码完成最终分配。
核心思想：利用已称出的物品作为新“砝码”，逐步分步称量，减少次数。
3. 不等臂天平问题
两次称量法
- 物体分别放左盘、右盘各称一次，读数分别为 $m_1$ 和 $m_2$。
- 真实质量 $m = \sqrt{m_1 \times m_2}$。
买卖双方影响
若用不等臂天平称同样砝码两次（左右各一次），顾客实得重量 $= m_1 + m_2 > 2 \times \text{砝码重量}$（由均值不等式 $a+b > 2\sqrt{ab}$ 推导）。即顾客获利。
四、典型题型拆分与例题精讲
题型一：找次品（已知次品较重）
【例1】
8 枚一元真币和 1 枚一元假币混在一起，假币与真币外观相同，但比真币略重。问用一台天平最少称几次就一定可以从这 9 枚硬币中找出假币？
A.2次 B.3次 C.4次 D.5次
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解析：
- 物品数 $N = 9$，满足 $3^1 < 9 \le 3^2$（即 $3 < 9 \le 9$）。
- $9 = 3^2$，恰好需要 2 次。
分组操作：
- 第 1 次：分三组（3, 3, 3），任意称两组（3 vs 3）
- 平衡 → 假币在第三组的 3 个中。
- 不平衡 → 假币在较重的 3 个中。
- 第 2 次：对含假币的 3 个，任意称两个（1 vs 1）
- 平衡 → 假币是剩下的那个。
- 不平衡 → 假币是较重的那个。
答案：A
【例2】
体育彩票 22 选5 使用的 22 个彩球除编号不同外，其余完全一样。由于生产过程疏忽，22 个彩球中有一个球的重量略重于其它球。现需要用天平将该球找出，那么，在最优方案下，最多要使用天平：
A.3次 B.4次 C.5次 D.6次
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解析：
- 物品数 $N = 22$，检验：$3^2 = 9 < 22 \le 27 = 3^3$。
- 因此至少需要 3 次。
分组操作：
- 第 1 次：分三组（7, 7, 8），称 7 vs 7。
- 第 2 次：若次品在 8 个组，分（3, 3, 2），称 3 vs 3。
- 第 3 次：对含次品的组（≤ 3 个）称 1 vs 1 即可定位。
答案：A
【例3】找假币
53 个真硬币和 1 个略重的假币混放，至少称几次可找出假币？
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解析：
- 总物品数 $N = 54$。
- 检验：$3^3 = 27 < 54 \le 81 = 3^4$。
- 因此至少需要 4 次。
答案：4次
题型二：砝码分物
【例4】
一架天平，只有 5 克和 30 克的砂码各一个，要将 300 克的食盐平均分成三份（每份 100 克），最少需要用天平称几次？
A.3次 B.4次 C.5次 D.6次
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解析：
第 1 次：用砂码称 35 克食盐
- 右盘放 5g + 30g 砂码 → 左盘得 35g 食盐。
第 2 次：用 35g 食盐 + 30g 砂码称 65g 食盐
- 右盘放 35g 食盐 + 30g 砂码 → 左盘得 65g 食盐。
- 累计：$35g + 65g = 100g$（第一份完成）。
第 3 次：用 100g 食盐作砂码称 100g 食盐
- 右盘放 100g 食盐 → 左盘得 100g 食盐（第二份完成）。
- 剩余 100g 自动为第三份。
最少需要 3 次。
答案：A
【例5】砂码分物变式
有 10 克和 40 克砂码各一个，将 200 克糖均分成 4 份（每份 50 克），最少称几次？
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解析：
- 第 1 次：10g + 40g 砂码 → 得 50g 糖（第一份）。
- 第 2 次：50g 糖作砂码 → 得 50g 糖（第二份）。
- 第 3 次：100g 糖（两份）作砂码 → 得 100g 糖，再对半分。
或更优方案：
- 第 1 次：50g 砂码 → 50g 糖。
- 第 2 次：50g 糖 → 50g 糖。
- 第 3 次：100g 糖 → 100g 糖（剩余 100g 自动分）。
最少 3 次。
答案：3次
题型三：不等臂天平
【例6】
粮油店用不等臂天平和 5kg 砂码分两次称 10kg 大米（左盘→右盘各一次），顾客实得大米是否足量？
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解析：
- 设左臂长 $a$，右臂长 $b$，且 $a \neq b$。
- 第一次（砂码在左盘）：$5 \times a = m_1 \times b \to m_1 = 5a/b$。
- 第二次（砂码在右盘）：$m_2 \times a = 5 \times b \to m_2 = 5b/a$。
- 顾客实得：$m_1 + m_2 = 5(a/b + b/a)$。
- 由均值不等式：$a/b + b/a \ge 2$（当且仅当 $a = b$ 时取等号）。
- 因为 $a \neq b$，所以 $m_1 + m_2 > 10$kg。
结论：顾客实得大米 超过 10kg，对顾客有利。
五、高频易错点与命题陷阱
| 易错点 | 错误表现 | 正确应对 |
|---|---|---|
| 分组不均匀 | 22 个分成 8, 8, 6 | 应尽量均分三组，22 个分成 7, 7, 8（两组相等） |
| 公式记错 | $N$ 次称量验证 $2^N$ 个 | $N$ 次称量最多验证 $3^N$ 个（三分法） |
| 砝码分物忽略递推 | 只用原始砝码，不利用已称物品 | 已称出的物品可以作为新“砝码”继续使用 |
| 不等臂天平方向搞反 | 以为顾客吃亏 | 两次称量（左右各一次）顾客恒获利 |
| 边界情况判断错 | 9 个物品以为需要 3 次 | $9 = 3^2$，恰好 2 次可完成 |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 找次品公式：$N$ 次称量 → 最多 $3^N$ 个物品；$M$ 个物品 → 至少 $\lceil \log_3 M \rceil$ 次
- 三分法：均分三组，称两组，根据平衡与否判断次品所在组
- 砝码分物：利用已称物品作为新砝码，逐步递推
- 不等臂天平：两次称量（左右各一次），顾客恒获利
常见次数对照表
| 称量次数 | 最多验证物品数 |
|---|---|
| 1 次 | 3 个 |
| 2 次 | 9 个 |
| 3 次 | 27 个 |
| 4 次 | 81 个 |
| 5 次 | 243 个 |
刷题建议
- 找次品：做 3-4 道，熟练公式和三分法分组策略。
- 砝码分物：做 2 道，理解“物品变砝码”的递推思想。
- 不等臂天平：了解结论即可，考频较低。