本节定位：空瓶换酒问题是行测中偶尔出现的小众题型，核心是理解“空瓶兑换”的等效转化思想。公式简洁，一旦掌握即可秒杀此类题目。
一、考点概述
1. 什么是空瓶换酒问题？
空瓶换酒问题是一类资源置换问题：用若干个空瓶可以免费兑换一瓶饮料（含瓶），喝完后产生新的空瓶，可以继续兑换，直到空瓶数量不足。
2. 核心思想
将“$N$ 个空瓶换 1 瓶酒（含瓶）”等效转化为“$(N-1)$ 个空瓶换 1 份酒（不含瓶）”，从而简化计算。
3. 为什么可以这样转化？
因为兑换的 1 瓶酒包含瓶和酒，喝完后会产生 1 个新空瓶。实际上每次兑换净消耗 $(N-1)$ 个空瓶，换得 1 份酒。
二、常见设问方式
- 【最多喝多少】“$N$ 个空瓶换 1 瓶酒，现有 $M$ 个空瓶，最多可以免费喝到多少瓶？”
- 【最少买多少】“$N$ 个空瓶换 1 瓶酒，$x$ 人每人喝 1 瓶，至少需要买多少瓶？”
- 【带初始空瓶】“某人持 $X$ 元和 $Y$ 个空瓶，每瓶售价 $Z$ 元，最多可喝多少瓶？”
- 【复合兑换】“空瓶和瓶盖分别可以兑换，最多能喝多少瓶？”
三、解题思路总览
1. 核心公式
| 题型 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 已知空瓶数，求最多喝多少 | $C = \lfloor M / (N-1) \rfloor$ | $M$ 为空瓶数，$N$ 个空瓶换 1 瓶酒，结果向下取整 |
| 已知喝酒量，求最少购买量 | $x = \lceil T \times \frac{N-1}{N} \rceil$ | $x$ 为购买量，$T$ 为总喝酒量，结果向上取整 |
2. 公式推导
- 等效转化：$N$ 个空瓶换 1 瓶酒 $\iff (N-1)$ 个空瓶换 1 份酒（不含瓶）
- 原因：兑换得到的 1 瓶酒喝完后产生 1 个新空瓶，实际净消耗 $(N-1)$ 个空瓶
- 最少买公式原理：买 $N-1$ 瓶，喝完得 $N-1$ 空瓶，换 1 瓶，喝完得 1 空瓶（归零）。总共喝 $N$ 瓶。即投入 $N-1$ 产出 $N$。
3. 解题步骤
题型一：已知空瓶数，求最多喝多少
- 直接套用公式：$C = M \div (N-1)$
- 结果向下取整（余数不足以兑换）
题型二：已知喝酒量，求最少购买量
- 设购买 $x$ 瓶，则总喝酒量 $= x + x \div (N-1)$
- 解方程：$x \times \frac{N}{N-1} = T \to x = T \times \frac{N-1}{N}$
- 结果向上取整（购买量必须为整数）
四、典型题型拆分与例题精讲
题型一：已知空瓶数，求最多喝多少
【例1】
12 个啡酒空瓶可以免费换 1 瓶啡酒，现有 101 个啡酒空瓶，最多可以免费喝到的啡酒为：
A.10瓶 B.11瓶 C.8瓶 D.9瓶
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解析：
- 等效转化：12 空瓶换 1 瓶酒 $\iff$ 11 空瓶换 1 份酒（不含瓶）
- 套用公式：$C = 101 \div 11 = 9 \cdots 2$
- 最多可免费喝 9 瓶（余 2 个空瓶不足以兑换）
答案：D
【例2】基础变式
3 个空瓶换 1 瓶饮料，现有 12 个空瓶，最多可以免费喝到多少瓶？
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解析：
- 等效转化：3 空瓶换 1 瓶 $\iff$ 2 空瓶换 1 份饮料
- $C = 12 \div 2 = 6瓶$
答案：6瓶
题型二：已知喝酒量，求最少购买量
【例3】
31 个小运动员在参加完比赛后，口渴难耐，去小店买饮料，饮料店搞促销，凭三个空瓶子可以再换一瓶，他们最少买多少瓶饮料才能保证一人一瓶？
A.21 B.23 C.25 D.27
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解析：
方法一（公式法）：
- 等效转化：买 2 瓶可以喝 3 瓶（2 瓶喝完换 1 瓶）。即投入 2 产出 3。
- $x = 31 \times \frac{2}{3} \approx 20.67$
- 向上取整：$x = 21瓶$
方法二（验证法）：
- 买 21 瓶，喝完得 21 个空瓶
- 21 空瓶换 7 瓶（剩 0 空瓶），喝完得 7 空瓶
- 7 空瓶换 2 瓶（剩 1 空瓶），喝完得 2 空瓶
- 现有 $1+2=3$ 空瓶，换 1 瓶
- 总共喝：$21 + 7 + 2 + 1 = 31$ 瓶 ✓
答案：A
【例4】反向验证
4 个空瓶换 1 瓶酒，若要让 10 人每人喝 1 瓶，至少需要购买多少瓶？
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解析：
- 等效转化：买 3 瓶可以喝 4 瓶。即投入 3 产出 4。
- $x = 10 \times \frac{3}{4} = 7.5$
- 向上取整：$x = 8瓶$
验证：买 8 瓶，喝完得 8 空瓶；8 空瓶换 2 瓶（剩 0），喝完得 2 空瓶；不足 4 个无法再换。总共喝 $8+2=10$ 瓶 ✓
答案：8瓶
题型三：带初始空瓶
【例5】
9 个空瓶换 2 瓶饮料，售价 2.9 元/瓶。某人持 58 元和 8 个空瓶，最多可喝多少瓶？
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解析：
- 购买量：$58 \div 2.9 = 20$ 瓶
- 初始空瓶：$20 + 8 = 28$ 个
- 等效转化：9 空瓶换 2 瓶 → 每瓶净消耗 $(9-2)/2 = 3.5$ 个空瓶
- 可兑换：$28 \div 3.5 = 8$ 瓶
- 总计：$20 + 8 = 28瓶$
答案：28瓶
题型四：模拟兑换过程
【例6】逐步模拟
5 个空瓶换 1 瓶酒，现有 24 个空瓶，最多能喝多少瓶？
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解析：
方法一（公式法）：
$C = 24 \div (5-1) = 24 \div 4 = 6瓶$
方法二（模拟法）：
- 24 空瓶换 4 瓶（剩 4 空瓶），喝完得 $4+4=8$ 空瓶
- 8 空瓶换 1 瓶（剩 3 空瓶），喝完得 $3+1=4$ 空瓶
- 4 空瓶不足 5 个，无法再换
- 总共喝：$4 + 1 = 5$ 瓶 ✗
注意：模拟法这里出现偏差，是因为没有考虑“借瓶”。公式法默认可以借瓶再还。若题目未禁止借瓶，应按最大可能（即公式法）计算。
方法三（借瓶法）：
- 剩 4 空瓶时，借 1 瓶凑成 5 个，换 1 瓶酒
- 喝完后还回借的 1 个空瓶，净得 0 空瓶
- 总共喝：$4 + 1 + 1 = 6瓶$ ✓
答案：6瓶
五、高频易错点与命题陷阱
| 易错点 | 错误表现 | 正确应对 |
|---|---|---|
| 取整方向错误 | “最多喝”向上取整，“最少买”向下取整 | “最多喝”向下取整（余数不够换）；“最少买”向上取整（必须凑够） |
| 混淆包含关系 | 忘记兑换的酒包含瓶 | 兑换的 1 瓶酒 = 1 份酒 + 1 个空瓶，喝完后产生新空瓶 |
| 公式分母错误 | 用 $N$ 而非 $(N-1)$ 做分母 | $N$ 空瓶换 1 瓶 → 等效为 $(N-1)$ 空瓶换 1 份酒（不含瓶） |
| 忽略借瓶 | 模拟时余数直接作废 | 公式法默认可借瓶，若题目允许借瓶则直接用公式 |
| 复合兑换算错 | 多种兑换方式时混淆 | 分别计算每种兑换方式，注意瓶和盖的独立性 |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 核心转化：$N$ 空瓶换 1 瓶酒 $\iff (N-1)$ 空瓶换 1 份酒（不含瓶）
- 最多喝公式：$C = M \div (N-1)$，向下取整
- 最少买公式：$x = T \times \frac{N-1}{N}$，向上取整
- 借瓶技巧：余数接近 $N$ 时可借瓶凑整再还
刷题建议
- 基础必练：“最多喝多少”类题目做 2-3 道，熟练公式。
- 反向题型：“最少买多少”类题目做 2 道，注意取整方向。
- 验证习惯：用模拟法验证公式结果，确保理解透彻。
- 注意事项：审题时注意是否允许借瓶、是否有初始空瓶。