本节定位：不定方程与数论是行测数量关系中的综合题型，涉及整除、余数、同余等数论知识与方程思想的结合。本节将这些分散知识点融合，帮助考生建立系统的解题框架，应对复杂的综合性问题。
一、考点概述
1. 什么是不定方程？
不定方程（组）：未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是正整数）的方程或方程组。
例如：3x + 5y = 41，两个未知数但只有一个方程。
2. 不定方程的分类
| 类型 | 特征 | 解题技巧 |
|---|---|---|
| 限制性不定方程 | 未知数必须是正整数（如人数、盒子数、笔数等） | 奇偶特性、因子倍数、尾数法、代入排除 |
| 非限制性不定方程 | 未知数不限制必须是整数（如钱、时间、重量等） | 整体替换、赋0法 |
3. 数论基础知识
整除判定法则
| 被除数 | 判定方法 | 示例 |
|---|---|---|
| 2 | 末位是0、2、4、6、8 | 122能被2整除 |
| 3 | 各位数字之和能被3整除 | 123：1+2+3=6，能被3整除 |
| 4 | 末两位能被4整除 | 124：24能被4整除 |
| 5 | 末位是0或5 | 155能被5整除 |
| 6 | 同时能被2和3整除 | 126能被6整除 |
| 8 | 末三位能被8整除 | 1112：112能被8整除 |
| 9 | 各位数字之和能被9整除 | 927：9+2+7=18，能被9整除 |
余数基本公式
- 基本关系式：被除数 ÷ 除数 = 商……余数（0 ≤ 余数 < 除数）
- 恒等式：被除数 = 除数 × 商 + 余数
同余定理（中国剩余定理简化版）
- 余同加余："除以4余1，除以5余1" → 余数都是1 → $N = 20k + 1$
- 和同加和："除以4余3，除以5余2"（3+4=7，2+5=7）→ 和都是7 → $N = 20k + 7$
- 差同减差："除以4余3，除以5余4"（4-3=1，5-4=1）→ 差都是1 → $N = 20k - 1$
二、常见设问方式
- 【基础不定方程】"用X元买甲、乙两种物品，甲单价a元，乙单价b元，最多能买几个？"
- 【整除余数】"一群学生分小组，3人一组多2人，5人一组多3人，至少多少人？"
- 【组合计数】"某比赛一等奖9分，二等奖5分，三等奖2分，10人参赛总分61分，一等奖最多几人？"
- 【非限制型】"买3支钢笔、1个笔记本、2瓶墨水花35元，买5支钢笔、1个笔记本、3瓶墨水花52元，各买1件共需多少元？"
- 【同余问题】"每次取5个剩4个，取4个剩3个，取3个剩2个，取12个剩几个？"
三、解题思路总览
1. 不定方程解题优先级
拿到一道不定方程，按以下顺序选择方法：
- 尾数法：系数含5、10、15、20等（尾数确定）→ 优先使用
- 倍数特性：系数与常数有公因子 → 利用整除性
- 奇偶特性：通过奇偶性缩小范围
- 代入排除：以上都不行时，逐一代入验证
2. 各方法详解
方法一：尾数法
适用条件：系数含5、10、15、20等（其乘积尾数为0或5）
原理：10Y的尾数一定是0，5Y的尾数一定是0或5
示例：3X + 10Y = 41 → 10Y尾数为0 → 3X尾数为1 → X尾数为7（3×7=21）
方法二：因子倍数法
适用条件：系数与常数存在公因子
原理：若aX + bY = c，且b和c都是d的倍数，则aX也是d的倍数
示例：11a + 7b = 132 → 11a和132都是11的倍数 → 7b是11的倍数 → b是11的倍数
方法三：奇偶特性
适用条件：系数为偶数时
原理：偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数
示例：3X + 4Y = 200 → 4Y是偶数 → 3X是偶数 → X是偶数
方法四：赋0法（非限制型）
适用条件：未知数可以是小数（如价格、时间、重量）
原理：方程有无数组解，取其中一组即可，令最复杂的未知数为0
示例：问X+Y+Z=？→ 令Z=0，解出X、Y后求和
3. 余数问题解题框架
- 识别条件：找出"分X个余Y"的条件
- 转化同余：写成同余式 N ≡ 余数 (mod 除数)
- 判断类型：余同加余 / 和同加和 / 差同减差
- 求最小公倍数：确定周期
- 结合范围：找出满足条件的具体数值
四、典型题型拆分与例题精讲
题型一：限制性不定方程（正整数解）
【例1】基础题：尾数法
超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？
A.3 B.4 C.7 D.13
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解析：
- 设e5927盒X个，小盒Y个：12X + 5Y = 99
- 尾数法：5Y尾数为0或5
- 若5Y尾数为5，剆12X尾数为4 → X尾数为2或7
- 若5Y尾数为0，剆12X尾数为9 → 12乘任何数尾数不可能是9，排除
- X=2时：24+5Y=99 → Y=15，共17个盒子（满足"十多个"）
- X=7时：84+5Y=99 → Y=3，共10个盒子（刚好"十多个"边界，通常"十多个"指11-19个，10个可能不符，需结合选项）
- 验证：只有X=2、Y=15满足。相差：|15-2| = 13个
答案：D
【例2】因子倍数法
设a、b均为正整数，且有等式11a + 7b = 132成立，则a的值为？
A.6 B.4 C.3 D.5
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解析：
- 观察：11a和132都是11的倍数
- 因此7b也必须是11的倍数
- 7是质数且不含因子11 → b必须是11的倍数
- b最小为11：7×11=77 → 11a=132-77=55 → a=5
- 验证：b=22时，7×22=154>132，不满足
答案：D（a=5）
【例3】
有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位乘客均有座位，且车上没有空座，则需大客车的辆数是？
A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆
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解析：
- 设d5927客车X辆，小客车Y辆：37X + 20Y = 271
- 尾数法：20Y尾数为0 → 37X尾数为1
- 37×1=37（尾数7）、37×2=74（尾数4）、37×3=111（尾数1）✓
- X=3：111 + 20Y = 271 → Y=8
- 验证：37×3 + 20×8 = 111 + 160 = 271 ✓
答案：B（3辆）
【例4】
某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？
A.3 B.4 C.5 D.6
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解析：
- 设一等奖x人，二等奖y人，三等奖z人
- 列方程组：
- x + y + z = 10
- 9x + 5y + 2z = 61
- 消z：9x + 5y + 2(10-x-y) = 61 → 7x + 3y = 41
- 求x最大：7x < 41 → x < 5.86 → x最大为5
- 验证x=5：35 + 3y = 41 → y = 2，z = 10-5-2 = 3 ✓
答案：C（5人）
题型二：非限制性不定方程（赋0法）
【例5】经典题
小刚买了3支钢笔、1个笔记本、2瓶墨水，花去35元钱，小强在同一家店买同样的5支钢笔、1个笔记本、3瓶墨水花去52元钱，则买1支钢笔、1个笔记本、1瓶墨水共需多少元？
A.9 B.12 C.15 D.18
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解析：
- 设钢笔x元、笔记本y元、墨水z元
- 方程组：
- 3x + y + 2z = 35 ①
- 5x + y + 3z = 52 ②
- 问x+y+z=？（价格可以是小数，用赋0法）
- 赋0法：令x=0
- ①变为：y + 2z = 35
- ②变为：y + 3z = 52
- 解得：z = 17，y = 1
- x + y + z = 0 + 1 + 17 = 18元
方法二（整体替换）：①×2 - ② → (6x+2y+4z) - (5x+y+3z) = 70 - 52 → x + y + z = 18
答案：D
【例6】
木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子合10张，共需要多少小时？
A.47.5 B.50 C.52.5 D.55
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解析：
- 设桌子x小时/张，凳子y小时/张，椅子z小时/张
- 方程组：
- 2x + 4y = 10 ①
- 4x + 8z = 22 ②
- 问10(x+y+z)=？
- 赋0法：令y=0
- ①：2x = 10 → x = 5
- ②：4×5 + 8z = 22 → z = 0.25
- 10(x+y+z) = 10×(5+0+0.25) = 52.5小时
答案：C
题型三：余数与同余问题
【例7】
一群学生分小组在户外活动，如3人一组还多2人，5人一组还多3人，7人一组还多4人，则该群学生的最少人数是？
A.23 B.53 C.88 D.158
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解析：
- 转化为同余式：
- N ≡ 2 (mod 3)
- N ≡ 3 (mod 5)
- N ≡ 4 (mod 7)
- 逐步满足法：
- 满足除5余3的数：3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53...
- 检查除7余4：53 ÷ 7 = 7...4 ✓
- 检查除3余2：53 ÷ 3 = 17...2 ✓
- 最小值为 53
答案：B
【例8】
一个盒子里有乒乓球100多个，如果每次取5个出来最后刴4个，如果每次取4个最后刴3个，如果每次取3个最后刴2个，那么如果每次取12个最后剩多少个？
A.11 B.10 C.9 D.8
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解析：
- 观察特征（差同减差）：
- 除以5余4（差1）
- 除以4余3（差1）
- 除以3余2（差1）
- 每个条件都是"差1"，即N+1能被3、4、5整除
- 3、4、5的最小公倍数 = 60
- N+1 = 60k → N = 60k - 1
- 100多个 → N = 119（k=2时，60×2-1=119）
- 119 ÷ 12 = 9……11
答案：A
题型四：比例型倍数特性
【例9】
甲、乙、丙、丁四人做纸花，甲做的朵数是其他三人的1/2，乙做的朵数是其他三人的1/3，丙做的朵数是其他三人的1/4，丁做了39朵。求总朵数？
A.130 B.144 C.160 D.180
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解析：
- 转化比例：
- 甲占总数的 1/(1+2) = 1/3
- 乙占总数的 1/(1+3) = 1/4
- 丙占总数的 1/(1+4) = 1/5
- 丁占总数的比例：1 - (1/3 + 1/4 + 1/5) = 1 - 47/60 = 13/60
- 总朵数 = 39 ÷ (13/60) = 39 × 60 / 13 = 3 × 60 = 180朵
答案：D
【例10】
某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，需要装到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋多少个？
A.2 B.3 C.5 D.7
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解析：
- 设d5927袋x个，小袋y个：24x + 15y = 153
- 化简（除3）：8x + 5y = 51
- 尾数法：5y尾数0或5 → 8x尾数1或6
- 8×2=16（尾数6）→ 16 + 5y = 51 → y = 7 ✓
- 8×7=56>51，排除
- 验证其他：8×1=8（尾数8）不符
答案：A（2个）
五、高频易错点与命题陷阱
| 易错点 | 错误表现 | 正确应对 |
|---|---|---|
| 未判断是否为正整数解 | 直接代入不验证是否为正整数 | 限制性方程的解必须是正整数，需验证 |
| 尾数法使用条件错误 | 系数无5、10等仍用尾数法 | 尾数法仅适用于系数含5、10、15、20等 |
| 倍数判断遗漏 | 只找小公因子，遗漏最大公因子 | 应找最大公因子以最大程度缩小范围 |
| 混淆余同、和同、差同 | 套用错误的同余公式 | 余同加余、和同加和、差同减差 |
| 赋0法误用于限制性方程 | 对正整数解用赋0法 | 赋0法仅适用于非限制型（价格、时间等可为小数） |
| 忽略隐含条件 | 如"十多个盒子"未验证 | 审清所有限制条件，多组解时逐一验证 |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 不定方程解题顺序：尾数法 → 倍数特性 → 奇偶特性 → 代入排除
- 限制性 vs 非限制性：人数、盒子等为正整数用前四法；价格、时间可为小数用赋0法
- 同余三口诀：余同加余、和同加和、差同减差
- 整除判定：3/9看各位和，4看末两位，5看末位，8看末三位
方法选择速查
| 特征 | 优先方法 |
|---|---|
| 系数含5、10、15、20 | 尾数法 |
| 系数与常数有公因子 | 倍数特性 |
| 系数含偶数 | 奇偶特性 |
| 未知数可为小数 | 赋0法/整体替换 |
| 以上皆不明显 | 代入排除 |
刷题建议
- 限制性不定方程：做4-5道，分别练习尾数法、倍数法、奇偶法。
- 非限制性不定方程：做2-3道，熟练赋0法和整体替换。
- 同余问题：做3-4道，掌握余同加余、差同减差的快速判断。
- 综合题：做2-3道，练习方程与数论的结合应用。