函数图像选择题技巧_利润最大化二次函数解法

本节定位：函数图像与性质是行测数量关系中的综合题型，尤其在国考中几乎每年考查1道。此类题目将一次函数、二次函数与实际问题相结合，考查图像选择、利润最大化等应用能力。掌握函数基础知识，可快速秒杀此类题目。

一、考点概述

1. 函数基础知识

一次函数

一般形式：y = kx + b

k：斜率，k > 0 时函数递增，k < 0 时函数递减，|k| 越大图像越陡
b：截距，表示 x = 0 时的 y 值（与 y 轴的交点）
图像：一条直线

二次函数

一般形式：y = ax² + bx + c

a > 0：开口向上，有最小值
a < 0：开口向下，有最大值
对称轴：x = -b/(2a)
顶点坐标：(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))

最值公式（重点）

对于二次函数 y = ax² + bx + c：

当 x = -b/(2a) 时，y 取得极值
若 a < 0，为最大值；若 a > 0，为最小值

简便方法（零点中点法）：将二次函数分解为 y = (mx + n)(px + q) 的形式，令两因式分别为0求出两根 x₁ 和 x₂，则极值点 x = (x₁ + x₂)/2

2. 行测中函数问题的考查形式

题型	特征	考查频率
函数图像选择题	给情境描述，选择正确的函数图像	国考高频（几乎每年1道）
利润最大化问题	售价变化影响销量，求最大利润	联考/省考常见
分段函数问题	计费规则分段，如出租车费、水电费	各类考试均有

二、常见设问方式

【图像选择】"以下哪个图形能反映 Y 与 X 的关系？"
【利润最值】"售价每涨/降X元，销量减/增Y件，求最大利润时的售价"
【分段计费】"起步价X元，超过Y公里每公里Z元，行驶M公里需付多少钱？"
【上下限问题】"问某量的上限/下限与另一变量的关系图像"
【距离时间】"两人相向/同向运动，直线距离与时间的关系图像"

三、解题思路总览

1. 函数图像选择题解法

方法一：排除法（优先使用）

排除不常见函数：三角函数（sin/cos形状）、双曲线（半圆形状）等一般不考
看分段数量：根据题意判断应分几段，排除分段数不符的选项
看单调性：判断增减趋势，排除趋势相反的选项
看端点值：判断起点、终点的值，排除不符的选项

方法二：特值验证

取特殊点（如起点、分界点、终点）
计算特殊点对应的函数值
验证哪个图像符合

2. 利润最大化问题解法

步骤一：设未知数

设涨价/降价次数为 x（或涨/降的金额为 x）

步骤二：列二次函数

总利润 = (单价 - 成本) × 销量

将单价和销量都用 x 表示，展开得到 y = ax² + bx + c 的形式

步骤三：求极值点

方法一：直接用公式 x = -b/(2a)
方法二：分解成两因式相乘，令两因式为0求两根，取中点（推荐）

步骤四：验证取值范围

注意 x 必须在合理范围内（如不能为负数、不能超过最大涨幅等）

3. 分段函数解法

找分段点：识别计费规则变化的分界点
分段计算：在每段内按对应规则计算
汇总求和：将各段费用相加

技巧：设未知数时，优先设最后一段的用量，而非总用量

四、典型题型拆分与例题精讲

题型一：函数图像选择题

【例1】

某集团三个分公司共同举行技能大赛，其中成绩靠前的X人获奖。如获奖人数最多的分公司获奖的人数为Y，问以下哪个图形能反映Y的上、下限分别与X的关系？

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解析：

分析上限：
- Y 的上限：获奖最多的公司可以包揽所有奖项
- Y上限 = X（所有获奖者都来自一个公司）
- 上限是一条 Y = X 的直线
分析下限：
- Y 的下限：三个公司尽可能平均分配奖项（最值问题中的“最不利原则”）
- 当 X = 1 时，Y下限 = 1（只有1人获奖）
- 当 X = 2 时，Y下限 = 1（1,1,0 分配）
- 当 X = 3 时，Y下限 = 1（1,1,1 分配）
- 当 X = 4 时，Y下限 = 2（2,1,1 分配，最多的至少2个）
- 规律：Y下限 = ⌈X/3⌉（向上取整）
下限呈阶梯状：1,1,1,2,2,2,3,3,3...

答案：C（上限为直线 Y=X，下限为阶梯状）

【例2】正方形蚂蚁问题

正方形 ABCD 边长为10厘米，一只小蚂蚁 E 从 A 点出发匀速移动，沿边 AB、BC、CD 前往 D 点。问哪个图形能反映三角形 AED 的面积与时间的关系？

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解析：

分段分析：蚂蚁经过三条边，应分三段
- AB段：三角形AED的底AD不变=10，高=AE逐渐增大，面积增大
- BC段：底AD=10，高恒为10（E在BC上，到AD距离恒为10），面积不变
- CD段：底AD=10，高逐渐减小（E到A的距离减小），面积减小
图像特征：先增大 → 保持不变（水平段）→ 再减小

排除技巧：

D选项分4段，排除（只有3条边）
C选项形状罕见（类似三角函数），排除
B选项无水平段，排除

答案：A（有水平段的选项）

【例3】正三角形散步问题

一正三角形小路，甲、乙两人从A点同时出发，朝不同方向沿小路散步，已知甲的速度是乙的2倍。问以下哪个坐标图能准确描述两人之间的直线距离与时间的关系？

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解析：

速度关系：甲速度 = 2 × 乙速度
分析运动：
- 设乙走了距离 s，则甲走了 2s
- 正三角形内角60°，两人夹角60°
- 由余弦定理：两人距离 = √(s² + (2s)² - 2·s·2s·cos60°) = √(3s²) = √3·s
距离与时间关系：s = v·t，所以距离 = √3·v·t（一次函数，直线）
周期性：走完一圈后重新开始

排除技巧：

A分4段，B为曲线，C为双曲线形状，均排除
只有D为周期性直线段

答案：D（周期性的折线，每段为直线）

题型二：利润最大化问题（二次函数应用）

【例4】

苗木每株4元可卡20万株，单价每涨0.4元少卡1万株。求最大收入。

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解析：

设变量：设涨价次数为 x
列表达式：
- 单价 = 4 + 0.4x（元）
- 销量 = 20 - x（万株）
收入函数：R(x) = (4 + 0.4x)(20 - x)
求极值点（零点中点法）：
- 令 4 + 0.4x = 0 → x = -10
- 令 20 - x = 0 → x = 20
- 极值点 x = (-10 + 20)/2 = 5
代入求最大收入：
- 单价 = 4 + 0.4×5 = 6 元
- 销量 = 20 - 5 = 15 万株
- 最大收入 = 6 × 15 = 90万元

【例5】

某类商品按质量分为8个档次，最低档次商品每件可获刘8元，每提高一个档次，每件商品的利润增加2元。最低档次商品每天可产出60件，每提高一个档次，日产量减少5件。若只生产其中某一档次的商品，则每天能获得的最大利润是多少元？
A.620　　B.630　　C.640　　D.650

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解析：

设变量：设提高 x 个档次（x = 0,1,2,...,7）
列表达式：
- 单件利润 = 8 + 2x（元）
- 日产量 = 60 - 5x（件）
日利润函数：P(x) = (8 + 2x)(60 - 5x)
分解求极值：
- 令 8 + 2x = 0 → x = -4
- 令 60 - 5x = 0 → x = 12
- 极值点 x = (-4 + 12)/2 = 4
验证 x = 4 在范围内：0 ≤ 4 ≤ 7 ✓
代入求最大利润：
- 单件利润 = 8 + 2×4 = 16 元
- 日产量 = 60 - 5×4 = 40 件
- 最大利润 = 16 × 40 = 640元

答案：C

【例6】

某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要使销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是？
A.5元　　B.6元　　C.7元　　D.8元

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解析：

设变量：设降价 x 元
列表达式：
- 单价 = 100 - x（元）
- 成本 = 80（元）
- 单件利润 = (100 - x) - 80 = 20 - x（元）
- 销量 = 120 + 20x（件）
利润函数：P(x) = (20 - x)(120 + 20x)
分解求极值：
- 令 20 - x = 0 → x = 20
- 令 120 + 20x = 0 → x = -6
- 极值点 x = (20 + (-6))/2 = 7
验证：降价7元后单价93元 > 成本80元 ✓

答案：C（降低7元）

【例7】

进价为每个40元的"冰墩墩"，当售价定为44元时，每天可售出300个，售价每上涨1元，每天销量减少10个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为？
A.51元　　B.52元　　C.54元　　D.57元

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解析：

设变量：设涨价 x 元（x ≥ 0）
列表达式：
- 售价 = 44 + x（元）
- 单件利润 = (44 + x) - 40 = 4 + x（元）
- 销量 = 300 - 10x（件）
利润函数：P(x) = (4 + x)(300 - 10x)
分解求极值：
- 令 4 + x = 0 → x = -4
- 令 300 - 10x = 0 → x = 30
- 极值点 x = (-4 + 30)/2 = 13
最优售价：44 + 13 = 57元

答案：D

题型三：分段计费问题

【例8】

某商品的单位利润和进货量的大小相关，进货总额低于5万元时利润率为5%，低于或等于10万元时，高于5万元的部分利润率在10%，高于10万元时，高于10万元的部分利润率在15%，问当进货量在20万元时，一共有多少万元的利润？
A.1.75　　B.2.25　　C.3.15　　D.4.05

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解析：

分段计算：
- 第一段（0-5万）：5 × 5% = 0.25万
- 第二段（5-10万）：5 × 10% = 0.5万
- 第三段（10-20万）：10 × 15% = 1.5万
总利润：0.25 + 0.5 + 1.5 = 2.25万元

答案：B

【例9】分段计费基础

A城市的出租车两公里以内的起步价为10元，超过两公里的价格为2.5元/公里。小明打车行驶了5公里，问小明应付多少钱？

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解析：

分段：
- 前2公里：10元（起步价）
- 超出部分：5 - 2 = 3公里，3 × 2.5 = 7.5元
总费用：10 + 7.5 = 17.5元

五、高频易错点与命题陷阱

易错点	错误表现	正确应对
忽略定义域	极值点超出合理范围	验证 x 是否在有意义的范围内（如降价不能为负）
混淆利润和收入	收入函数当利润函数用	利润 = 收入 - 成本，注意题目要求的是哪个
图像选择凭感觉	不分析直接选看似合理的	用分段数、单调性、端点值逐一排除
分段点计算错误	边界点归错段	注意"低于"和"低于或等于"的区别
二次函数开口方向	a的符号判断错误	a > 0 开口向上（有最小值），a < 0 开口向下（有最大值）

六、小结与刷题建议

核心要点回顾

一次函数：y = kx + b，图像为直线，k决定斜率和单调性
二次函数：y = ax² + bx + c，图像为抛物线，极值点 x = -b/(2a)
利润最大化：总利润 = (单价-成本) × 销量，列二次函数求极值（零点中点法）
图像选择：优先用排除法，分析分段数、单调性、端点值
分段函数：找分段点 → 分段计算 → 汇总求和

二次函数极值求法速查

方法	适用情况
x = -b/(2a)	标准形式 y = ax² + bx + c
x = (x₁ + x₂)/2	因式分解形式 y = (mx+n)(px+q)

刷题建议

图像选择题：做3-4道国考真题，练习排除法技巧。
利润最大化：做4-5道，熟练二次函数列式和求极值。
分段函数：做2-3道，掌握分段计算的方法。
综合题：结合经济利润专题一起练习，提升综合应用能力。

图像选择题蒙题技巧（辅助）

排除分段数明显不符的选项
排除三角函数形状（sin/cos曲线）和双曲线形状（半圆）
优先选择看起来"正常"的一次函数或分段线性函数