本节定位：比赛问题是行测中偶尔出现的小众题型，核心是掌握淘汰赛与循环赛的场次公式，以及积分与胜负关系的计算。公式固定，题型明确，一旦掌握即可快速得分。
一、考点概述
1. 比赛问题的分类
- 淘汰赛：每场比赛淘汰一队，输者出局。
- 循环赛：分为单循环（每两队比一场）和双循环（每两队比两场，分主客场）。
- 混合赛制：先分组循环赛，再淘汰赛决出名次。
2. 核心考点
- 总场次计算
- 得分与胜负关系
- 轮空场次分析
- 极值问题（最多/最少未比赛场次）
二、常见设问方式
- 【淘汰赛场次】"N支队伍采用淘汰赛决出冠军，共需比赛多少场？"
- 【循环赛场次】"N支队伍进行单循环赛，总共比赛多少场？"
- 【积分问题】"每局胜得2分，负得0分，和棋各得1分，所有选手得分总和可能是多少？"
- 【轮空分析】"三人擂台赛，已知各人比赛场次和轮空次数，求某人打了几局？"
- 【场次极值】"N人比赛，每人得分不同，最多剩几局未比？"
- 【混合赛制】"先分组循环再淘汰，亚军参加的场次占总场次比重？"
三、解题思路总览
1. 淘汰赛公式
| 情形 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 仅决出冠军 | 总场次 = N − 1 | 每场淘汰1队，决出冠军需淘汰N-1队 |
| 决出前三名 | 总场次 = N | 增加一场三四名决赛 |
| 轮空规律 | 每轮淘汰约一半 | 奇数队时1队轮空（直接晋级下一轮） |
2. 循环赛公式
| 类型 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 单循环赛 | 总场次 = C(N,2) = N(N−1)/2 | 任意两队比一场（组合数） |
| 双循环赛 | 总场次 = A(N,2) = N(N−1) | 任意两队比两场（排列数，分主客场） |
3. 得分与胜负关系
- 每场比赛总积分恒定：无论胜负还是平局，每场比赛贡献2分
- 总积分公式：总积分 = 2 × 总场次
- 推论：总积分必为偶数
4. 轮空问题分析方法
- 画图标注确定信息
- 通过顶点关系计算未知场次
- 利用"某人轮空 = 另外两人对战"的对应关系
四、典型题型拆分与例题精讲
题型一：淘汰赛场次计算
【例1】
某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安扂23支队伍抽签两两争夺下一轮的出线权，没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛最后共会遇到多少次轮空的情况？
A.1 B.2 C.3 D.4
点击查看解析
解析：
- 逐轮分析：
- 第一轮：23队，11场比赛淘汰11队，1队轮空，剩余11+1=12队
- 第二轮：12队，6场比赛淘汰6队，剩余6队
- 第三轮：6队，3场比赛淘汰3队，剩余3队
- 第四轮：3队，1场比赛淘汰1队，1队轮空，剩余1+1=2队
- 决赛：2队，1场比赛，决出冠军
- 共轮空 1 + 1 = 2次
答案：B
题型二：循环赛场次计算
【例2】
某高校学生处要在大一新生中组织篮球比赛，赛制为单循环形式，即每两个队之间都赛一场，如果学生处计划安扂21场比赛，则应邀请多少支球队参加比赛？
A.5 B.8 C.7 D.6
点击查看解析
解析：
- 单循环公式：N(N−1)/2 = 21
- 解方程：N² − N − 42 = 0 → (N−7)(N+6) = 0
- N = 7支（舍去负值）
答案：C
【例3】
8支队伍在4个学校进行循环赛，平均每个学校举行几场比赛？
点击查看解析
解析：
- 总场次：C(8,2) = 8×7/2 = 28场
- 每校平均场次：28 ÷ 4 = 7场
答案：7场
题型三：得分与胜负关系
【例4】
象棋比赛中，每个选手均与其他选手比赛一局，每局胜者得2分，负者得0分，和棋各得1分，那么以下可能是这次比赛所有选手得分的总和是：
A.78 B.67 C.56 D.89
点击查看解析
解析：
- 诪N人参赛，总场次 = N(N−1)/2
- 总积分 = 2 × 总场次 = N(N−1)
- 验证选项：
- A. 78 = N(N−1) → N(N-1)=78，8×9=72，9×10=90，无整数解 ✗
- B. 67 为奇数 ✗（总积分为偶数）
- C. 56 = 8×7，N=8 ✓
- D. 89 为奇数 ✗
答案：C
【例5】
乒乓球世界杯锦标赛上，中国队、丹麦队、日本队和德国队分在一个小组，每两个队之间都要比赛1场，已知日本队已比赛了1场，德国队已比赛了2场，中国队已比赛了3场，则丹麦队还有几场比赛未比？
A.0 B.1 C.2 D.3
点击查看解析
解析：
- 中国队已比3场 = 与其他3队（日、德、丹）都比过了。
- 德国队已比2场 = 其中1场是与中国比。还剩1场，跟谁比？
- 日本只比了1场，这一场肯定是跟中国比的（因为中国跟所有人都比了）。
- 所以德国不能跟日本比。
- 因此，德国的第2场只能是跟丹麦比。
- 丹麦队已比场次：与中国比过，与德国比过，共2场。
- 丹麦总共要比3场，还剩 3 - 2 = 1场（与日本未比）。
答案：B
题型四：轮空场次分析
【例6】
三人擂台赛，每局2人对打，输者下局轮空。小张打6局，小王打9局，小李轮空4局。求小李打了几局？
点击查看解析
解析：
- 对应关系：小李轮空4局 = 小张与小王对打4局。
- 小张共打6局，其中与小王打4局 → 剩下的 6−4=2局 必须是与小李打。
- 小王共打9局，其中与小张打4局 → 剩下的 9−4=5局 必须是与小李打。
- 小李总场次 = 与小张打的2局 + 与小王打的5局 = 7局。
答案：7局
题型五：场次极值问题
【例7】
8人国际象棋单循环赛（每局胜2分，平1分），每人得分不同。问最多剩几局未比？
点击查看解析
解析：
- 总场次 = C(8,2) = 28场。若全部比完，总积分 = 2×28 = 56分。
- 题目求“最多剩几局未比” = “最少比了几局” = “已产生积分最少”。
- 8人得分各不同，积分最低的情况是：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 分。
- 此时已产生积分 = 0+1+2+3+4+5+6+7 = 28分。
- 每场比赛贡献2分，已比场次 = 28 ÷ 2 = 14场。
- 最多剩余场次 = 总场次 - 已比场次 = 28 - 14 = 14局。
答案：14局
【例8】
某单位五个科室间举办拔河比赛，每两个科室之间最多比一场。其中甲乙丙丁科室分别参加了4、3、2、1场比赛，问已经进行了多少场比赛？
A.8 B.7 C.6 D.5
点击查看解析
解析：
- 甲参加4场 = 与乙、丙、丁、戊都比过（全勤）。
- 丁参加1场 = 只与甲比过（因为甲全勤）。
- 丙参加2场 = 其中1场与甲比。另1场跟谁？
- 丁只跟甲比，排除。
- 还剩乙、戊。
- 乙参加3场 = 其中1场与甲比。剩下2场？
- 戊参加几场？
- 连线分析：甲-乙, 甲-丙, 甲-丁, 甲-戊 (甲满)
- 丁只连甲 (丁满)
- 丙连甲，还需连1个。乙连甲，还需连2个。戊连甲。
- 为了满足乙3场、丙2场，唯一的连法是：丙-乙，乙-戊。
- 所有连线：甲乙, 甲丙, 甲丁, 甲戊, 乙丙, 乙戊。
- 共 6场。
- （速解：总场次 = 各队场次和/2。戊的场次由图推知为2。总 = (4+3+2+1+2)/2 = 6）
答案：C
题型六：混合赛制
【例9】
某篮球比赛有12支球队报名参加，比赛的第一阶段中，12支球队平均分成2个组进行单循环比赛，每组前4名进入第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛，直至决出冠军。问亚军参加的场次占整个赛事总场次的比重为：
A.10%以下 B.10%-15% C.15%-20% D.20%以上
点击查看解析
解析：
- 第一阶段：12队分2组，每组6队单循环。
- 每组场次 = C(6,2) = 15场。2组共 30场。
- 亚军在小组赛中打满5场（与同组其他5队各比1场）。
- 第二阶段：2组前4名共8队进行淘汰赛。
- 8队决出冠军，需 8-1 = 7场。
- 亚军在淘汰赛中打了3场（8进4，4进2，决赛）。
- 计算比重：
- 总场次 = 30 + 7 = 37场。
- 亚军总场次 = 5 + 3 = 8场。
- 比重 = 8/37 ≈ 21.6%。
答案：D
五、高频易错点与命题陷阱
| 易错点 | 错误表现 | 正确应对 |
|---|---|---|
| 双循环误用单循环公式 | 双循环用N(N−1)/2 | 双循环 = N(N−1)，单循环 = N(N−1)/2 |
| 淘汰赛决前三漏季军赛 | 前三名用N−1场 | 决出前三名需增加三四名决赛，共N场 |
| 总积分计算错误 | 忽略每场固定贡献2分 | 无论胜负平，总积分 = 2×场次 |
| 场次重复计算 | 直接把各队场次相加 | 各队场次之和 = 2×总场次（每场被两队各计一次） |
| 轮空关系搞错 | 未理清三人轮空对应关系 | 某人轮空 = 另外两人在对战 |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 淘汰赛：决出冠军需N−1场，决出前三需N场
- 单循环赛：总场次 = N(N−1)/2
- 双循环赛：总场次 = N(N−1)
- 总积分 = 2×总场次（必为偶数）
- 各队场次之和 = 2×总场次
- 轮空分析：画图标注，利用对应关系
刷题建议
- 基础必练：淘汰赛场次、单循环场次各做2道。
- 中档题型：积分问题、轮空分析各做2道。
- 综合题型：混合赛制、场次极值做1-2道。
- 速算技巧：熟记常见组合数（C(8,2)=28, C(9,2)=36, C(10,2)=45），便于快速验证选项。