本节定位：统筹规划综合问题研究人力、物力的优化配置，目标是实现时间最少、费用最省、效率最高。本篇重点讲解排队打水、人员分配、货物集中等经典题型。

一、考点概述

1. 什么是统筹规划问题？

统筹规划问题是一类优化问题，通过合理安排资源（人力、物力、时间）来达到最优效果。常见于工厂调度、物流运输、排队服务等场景。

2. 核心原则

  • 并行处理：能同时进行的任务尽量并行
  • 短时优先：耗时短的任务优先处理，减少等待时间
  • 轻往重靠：货物集中时，轻量端向重量端移动
  • 高效优先：效率高的资源优先利用

3. 主要题型

  • 排队打水问题
  • 人员分配问题
  • 货物集中问题
  • 路径优化问题

二、常见设问方式

  • 【排队打水】"N人打水，各需时间不同，1个水龙头，求最小总等待时间？"
  • 【人员分配】"X个工厂需装卸工，Y辆车配送，求最少需要多少装卸工？"
  • 【货物集中】"几个仓库货物集中到某点，求最少运输量/运费？"
  • 【路径优化】"从起点出发配送多点，每次只能运N件，求最少行程？"

三、解题思路总览

1. 排队打水问题

核心原则

短时优先：打水时间短的人优先，可使总等待时间最小。

总等待时间公式

设n人打水时间按升序排列为 t₁ ≤ t₂ ≤ ... ≤ tₙ，则：

公式 说明
总等待时间 = Σ tᵢ × (n − i + 1) 第i个人的时间被后面(n−i)人等待，加上自己
= t₁×n + t₂×(n−1) + ... + tₙ×1 展开形式

理解方式

  • 第1个人打水，后面n−1人都在等 → t₁ 被计入n次（包括自己）
  • 第2个人打水，后面n−2人都在等 → t₂ 被计入n−1次
  • 以此类推...

2. 人员分配问题

问题背景

X个工厂需要装卸工，Y辆车轮流配送，每辆车到达时需要有装卸工在场。

核心公式

情形 最少人数
X > Y（工厂数 > 车辆数） 需求最多的Y个工厂人数之和
X ≤ Y（工厂数 ≤ 车辆数） 所有工厂需求人数之和

理解方式

  • 当工厂数 > 车辆数时，Y辆车最多同时服务Y个工厂
  • 最坏情况：Y辆车同时到达需求最大的Y个工厂
  • 因此需要准备这Y个工厂的人数之和

3. 货物集中问题

核心原则

轻往重靠：将货物集中到某点时，应让轻量端的货物向重量端移动。

解题步骤

  1. 按位置排列所有货物点
  2. 比较任意点两侧的总重量
  3. 选择总重量较大的一侧作为集中点
  4. 计算总运输量 = Σ(货物重量 × 运输距离)

4. 路径优化问题

核心思路

  • 尽量减少往返次数
  • 最后一次不需要返回起点（若题目允许）
  • 合理规划路线，避免重复路程

四、典型题型拆分与例题精讲

题型一：排队打水

【例1】

5人打水需时1、2、3、4、5分钟，1个水龙头。求最小总等待时间。
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解析：

  1. 按升序排列：1、2、3、4、5分钟
  2. 计算总等待时间：
    • 第1人(1分钟)：被5人等待 → 1×5 = 5
    • 第2人(2分钟)：被4人等待 → 2×4 = 8
    • 第3人(3分钟)：被3人等待 → 3×3 = 9
    • 第4人(4分钟)：被2人等待 → 4×2 = 8
    • 第5人(5分钟)：被1人等待 → 5×1 = 5
  3. 总等待时间 = 5 + 8 + 9 + 8 + 5 = 35分钟

【例2】排队打水变式

4人打水需时2、3、5、7分钟，2个水龙头。求最小总等待时间。
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解析：

  1. 2个水龙头，可以并行处理
  2. 最优分配（短时优先）：
    • 水龙头A：2分钟 → 5分钟（共7分钟）
    • 水龙头B：3分钟 → 7分钟（共10分钟）
  3. 等待时间计算：
    • 第1批(2分钟、3分钟)：各自等待自己的时间 → 2 + 3 = 5
    • 第2批(5分钟、7分钟)：分别等待前面的人 → (2+5) + (3+7) = 17
  4. 总等待时间 = 5 + 17 = 22分钟

题型二：人员分配

【例3】

5个工厂需要装卸工分别为7、9、4、10、6人，有3辆车配送。求最少需要多少名装卸工？
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解析：

  1. X = 5（工厂数），Y = 3（车辆数），X > Y
  2. 需求最多的3个工厂：10、9、7
  3. 最少装卸工数 = 10 + 9 + 7 = 26人

【例4】人员分配变式

3个工厂需要装卸工分别为8、6、5人，有5辆车配送。求最少需要多少名装卸工？
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解析：

  1. X = 3（工厂数），Y = 5（车辆数），X ≤ Y
  2. 工厂数不超过车辆数，最坏情况是所有车同时到达不同工厂
  3. 最少装卸工数 = 8 + 6 + 5 = 19人

题型三：货物集中

【例5】货物集中基础

一条直线上有A、B、C三个仓库，A在最左边，B在中间，C在最右边。A有10吨货，B有20吨货，C有30吨货。A到B距离5公里，B到C距离3公里。要将所有货物集中到一点，求最少运输量（吨·公里）。
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解析：

  1. 比较两侧重量：
    • 若集中到A：B(20吨)移动5公里，C(30吨)移动8公里 = 20×5 + 30×8 = 340
    • 若集中到B：A(10吨)移动5公里，C(30吨)移动3公里 = 10×5 + 30×3 = 140
    • 若集中到C：A(10吨)移动8公里，B(20吨)移动3公里 = 10×8 + 20×3 = 140
  2. 最少运输量 = 140吨·公里（集中到B或C均可）

规律：当货物分布不均时，应选择重量较大一侧的点作为集中点。

题型四：路径优化

【例6】垃圾桶配送

某公园有一个周长为1000米的环形花坛，计划在其周围每隔1米放置一个垃圾桶。现已将所需垃圾桶全部放在其中一个放置点，接下来要用手推车将垃圾桶运到每一个放置点。假如该手推车每次最多能运3个垃圾桶，则将垃圾桶运到最后一个放置点时手推车行程最少为多少米？
A.1600　　B.1800　　C.1900　　D.2200
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解析：

  1. 确定垃圾桶数量：周长1000米，每隔100米放1个 → 共10个。起点已放1个，还需配送9个到其他9个点。
  2. 规划配送：车每次运3个，需运3趟。
  3. 最优方案：
    • 第1趟（顺时针）：运3个，放到100m, 200m, 300m处。此时车在300m处，回起点装货。行程 = 300 × 2 = 600米。
    • 第2趟（逆时针）：运3个，放到900m, 800m, 700m处（即逆时针的100, 200, 300）。此时车在700m处（离起点300m），回起点装货。行程 = 300 × 2 = 600米。
    • 第3趟（顺时针）：运3个，放到400m, 500m, 600m处。此时车在600m处，任务完成，不需返回。行程 = 600米。
  4. 总行程 = 600 + 600 + 600 = 1800米

答案：B

【例7】路径优化变式

某人从A点出发，需要依次经过B、C、D三点送货，每次只能带1件货物。A到B距离2公里，B到C距离3公里，C到D距离4公里。求最少总行程。
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解析：

  1. 送货到B：去2公里，回2公里 = 4公里
  2. 送货到C：去2+3=5公里，回5公里 = 10公里
  3. 送货到D：去2+3+4=9公里，不用回 = 9公里
  4. 总行程 = 4 + 10 + 9 = 23公里

五、高频易错点与命题陷阱

易错点 错误表现 正确应对
排队打水顺序错 按降序排列 必须按升序（短时优先），才能使总等待时间最小
等待时间理解错 只算自己的时间 每人等待时间 = 自己打水时间 + 前面所有人的打水时间
人员分配公式用错 不区分X和Y大小 X>Y时取最大Y个之和；X≤Y时取全部之和
货物集中方向错 向轻量端集中 应向重量端集中（轻往重靠）
路径优化多算返程 最后一次也算往返 最后一次通常只算单程（不需返回）

六、小结与刷题建议

核心要点回顾

  • 排队打水：短时优先，总等待时间 = Σ tᵢ × (n−i+1)
  • 人员分配：X>Y取最大Y个之和，X≤Y取全部之和
  • 货物集中：轻往重靠，向重量大的一侧集中
  • 路径优化：减少往返，最后一次不返回

通用原则

  • 并行处理能同时进行的任务
  • 短时优先减少等待
  • 高效优先提升整体效率

刷题建议

  • 排队打水：做2-3道，重点理解"等待时间"的累加计算。
  • 人员分配：做2道，注意区分X和Y的大小关系。
  • 货物集中：做1-2道，理解"轻往重靠"原则。
  • 路径优化：做1-2道，注意最后一次是否需要返回。