本节定位：本篇涵盖青蛙跳井、人船过河、烙饼问题等经典统筹规划类谜题。这类题型看似趣味，实则考查周期思维和最优化思想，掌握核心公式即可快速解题。
一、考点概述
1. 题型分类
- 青蛙跳井（爬井）问题：周期运动中存在正效率和负效率，求完成任务的时间/次数。
- 人船过河问题：有限载量下运送人员过河，划船人需返回接人。
- 烙饼问题：有限资源（饼铛容量）下完成任务的最少时间。
- 时间统筹问题：多任务并行处理，求最短完成时间。
2. 核心思想
这类问题的共同特点是存在约束条件，需要通过合理规划来实现最优解。核心方法包括：
- 预留"最后一步"的特殊处理
- 并行处理能同时进行的任务
- 枚举法验证最优方案
二、常见设问方式
- 【跳井问题】"井深H米，青蛙每天上爬a米、下滑b米，第几天能爬出？"
- 【过河问题】"M人过河，船载N人需A人划船，至少渡几次/需多少时间？"
- 【烙饼问题】"饼铛最多放2张饼，每面需1分钟，烙N张饼最少需多少分钟？"
- 【时间统筹】"完成多项任务，哪些可以同时进行，最少需要多少时间？"
三、解题思路总览
1. 青蛙跳井问题
核心公式
| 概念 | 公式/说明 |
|---|---|
| 周期净进度 | 每天净上爬 = a − b（上爬a米，下滑b米） |
| 周期峰值 | a（每天最高能到达的位置） |
| 总天数公式 | 天数 = ⌈(H − a) / (a − b)⌉ + 1 |
解题步骤
- 预留最后一天的上爬量：从井深H中扣除a，得到需要通过周期完成的距离 = H − a
- 计算完整周期数：(H − a) ÷ (a − b)，向上取整
- 总天数 = 完整周期数 + 1（最后一天直接爬出）
关键点：最后一天白天爬出后不会再下滑，所以要预留周期峰值a。
2. 人船过河问题
核心公式
| 概念 | 公式/说明 |
|---|---|
| 单次有效运送量 | N − A（船载N人，A人划船） |
| 渡河次数 | 次数 = ⌈(M − A) / (N − A)⌉（若 $M \le N$，则次数=1） |
| 总时间 | 总时间 = (次数 − 1) × 2 × 单程时间 + 单程时间 |
解题要点
- 划船人占用座位，单次有效运送 = 船载量 − 划船人数
- 最后一次不需要返回，只算单程
- 往返次数 = 总次数 − 1
3. 烙饼问题
核心结论
- 饼铛最多放2张饼，每张饼需烙正反两面，每面 $t$ 分钟。
- 最优策略：每 $t$ 分钟烙2个面 → 相当于每 $t$ 分钟完成1张饼。
- N张饼最少时间 = N × t 分钟（N ≥ 2）。
特殊情况
- 1张饼：2t 分钟（正反各t分钟）
- 2张饼：2t 分钟（同时放2张）
- 3张饼：3t 分钟（轮换烙法）
4. 时间统筹问题
核心原则
- 并行处理：能同时进行的任务尽量并行
- 短时优先：耗时短的任务优先处理
- 找关键路径：不能压缩的时间是必需时间
四、典型题型拆分与例题精讲
题型一：青蛙跳井
【例1】
蜗牛掉入30米深的井中，白天爬5米，晚上滑2米，问第几天能爬出？
点击查看解析
解析：
- 周期净进度 = 5 − 2 = 3米/天
- 周期峰值 = 5米
- 需通过周期完成的距离 = 30 − 5 = 25米
- 完整周期数 = ⌈25 ÷ 3⌉ = ⌈8.33⌉ = 9天
- 总天数 = 9 + 1 = 第10天爬出
验证：前9天净爬 9×3 = 27米（实际位置27米），第10天白天再爬5米 = 32米 > 30米，爬出！
陷阱提示：若直接算 30÷3 = 10天，会误以为第10天能爬出，但实际第9天结束时只在27米位置，离井口还有3米，第10天白天才能爬出。
【例2】基础变式
井深24米，青蛙每天上爬6米，下滑4米，第几天能爬出？
点击查看解析
解析：
- 周期净进度 = 6 − 4 = 2米/天
- 需通过周期完成的距离 = 24 − 6 = 18米
- 完整周期数 = 18 ÷ 2 = 9天
- 总天数 = 9 + 1 = 第10天
题型二：人船过河
【例3】
32名学生过河，船每次载4人（需1人划船），往返需5分钟。9:00开始，9:17时至少多少人还在等待？
点击查看解析
解析：
- 单次有效运送量 = 4 − 1 = 3人
- 时间分析（9:00~9:17共17分钟）：
- 往返1次需5分钟
- 9:00出发 → 9:02.5到达（单程2.5分钟）→ 9:05返回
- 9:05出发 → 9:07.5到达 → 9:10返回
- 9:10出发 → 9:12.5到达 → 9:15返回
- 9:15出发 → 9:17.5到达（第4次单程途中）
- 已运送：前3次完成运送 3×3 = 9人，第4次途中4人（含划船者）
- 已离岸 = 9 + 4 = 13人
- 等待人数 = 32 − 13 = 19人
【例4】过河基础题
37人过河，船载7人需1人划船，单程5分钟，最少需要多少时间？
点击查看解析
解析：
- 单次有效运送量 = 7 − 1 = 6人
- 渡河次数 = ⌈(37 − 1) ÷ 6⌉ = ⌈36 ÷ 6⌉ = 6次
- 往返次数 = 6 − 1 = 5次
- 总时间 = 5 × 2 × 5 + 5 = 50 + 5 = 55分钟
题型三：烙饼问题
【例5】
用一个饼铛烙煎饼，每次饼铛上最多只能同时放两个煎饼，煎熟一个煎饼需要2分钟的时间，其中每煎熟一面需要一分钟。如果需要煎熟15个煎饼，至少需要多少分钟？
A.14 B.15 C.16 D.30
点击查看解析
解析：
- 饼铛每分钟可以烙2个面
- 15个煎饼共需烙 15×2 = 30个面
- 最少时间 = 30 ÷ 2 = 15分钟
关键思路：不要一张一张单独烙，要让饼铛始终保持满载。例如剩3张饼时（交替烙法）：
- 第1分钟：烙A正面 + B正面
- 第2分钟：烙A反面 + C正面
- 第3分钟：烙B反面 + C反面
- 3分钟完成3张饼！
答案：B
题型四：时间统筹
【例6】
小明家里来了客人，妈妈让他给客人烧水沏茶。烧开水需要10分钟，洗紫砂茶壶和茶杯需要2分钟，洗开水壶需要1分钟，买茶叶需要5分钟，沏好茶需要1分钟。小明初步估算了一下，完成这些事情要19分钟。为了使客人早点喝上茶，你认为怎样安排最合理，至少需要多少分钟才能让客人喝上茶水？
A.11 B.12 C.13 D.15
点击查看解析
解析：
- 不可压缩的时间：洗开水壶(1分钟) + 烧开水(10分钟) + 沏茶(1分钟) = 12分钟
- 可并行的时间：洗茶壶茶杯(2分钟)、买茶叶(5分钟)可在烧水时同时进行
- 2 + 5 = 7分钟 < 10分钟，可以在烧水期间完成
- 最少需要 12分钟
答案：B
【例7】
某餐厅要用三个炉灶做出9道菜肴，做完各道菜肴需要的时间分别是1、2、3、4、4、5、5、6、7分钟。每个炉灶在同一时间只能做一道菜肴。那么，最少经过多少分钟，该餐厅可以做完全部菜肴？
A.11 B.12 C.13 D.14
点击查看解析
解析：
- 总时间 = 1+2+3+4+4+5+5+6+7 = 37分钟
- 三个炉灶平均分配 ≈ 37÷3 ≈ 12.3分钟
- 最优分配（尽量平均）：
- 炉灶1：7 + 5 + 1 = 13分钟
- 炉灶2：6 + 4 + 2 = 12分钟
- 炉灶3：5 + 4 + 3 = 12分钟
- 取最长的 = 13分钟
答案：C
五、高频易错点与命题陷阱
| 易错点 | 错误表现 | 正确应对 |
|---|---|---|
| 跳井未预留峰值 | 直接用 H÷(a−b) 计算 | 要预留最后一天的上爬量a，公式为⌈(H−a)/(a−b)⌉+1 |
| 过河最后一次算往返 | 总时间 = 次数 × 往返时间 | 最后一次只算单程，往返次数 = 总次数 − 1 |
| 划船人未扣除 | 单次运送 = 船载量 | 单次有效运送 = 船载量 − 划船人数 |
| 烙饼单张单烙 | 15张饼用16分钟 | 交替烙法可实现每分钟1张，15张只需15分钟 |
| 时间统筹漏关键路径 | 只算并行任务时间 | 要找出不可压缩的关键路径（必经步骤） |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 跳井问题：预留周期峰值，天数 = ⌈(H−a)/(a−b)⌉ + 1
- 过河问题：单次运送 = 载量 − 划船人，最后一次不返回
- 烙饼问题：N张饼最少N×t分钟（保持饼铛满载）
- 时间统筹：找关键路径 + 并行处理其他任务
刷题建议
- 跳井问题：做2-3道，重点练习预留峰值的思想。
- 过河问题：做2道，注意划船人占位和最后一次单程。
- 烙饼问题：理解3张饼的交替烙法，其他可类推。
- 时间统筹：做1-2道，关键是识别哪些任务可以并行。