本节定位：本篇综合数列问题与最值问题两大考点。数列问题侧重等差等比数列的公式运用与求和技巧；最值问题侧重"最不利原则"与"数列构造"两大核心方法。两者在实际考题中常有交叉，属于拔高综合题型。

一、考点概述

1. 数列问题

数列问题研究的是按一定次序排列的一列数的规律与求和，核心是等差数列和等比数列的公式运用。

2. 最值问题

最值问题的题干或问法中出现"至多""至少""最多""最少""最大""最小"等字眼，主要分为三类：

  • 最不利原则：问"至少……才能保证……"
  • 数列构造：问"最多的最少是多少""排名第N的最多/最少是多少"
  • 多集合反向构造：问"至少有多少……都……"

二、常见设问方式

数列问题设问

  • 【等差求和】"某阶梯会议室有16排座位，后一排比前一排多2个，最后一排有40个座位，共有多少座位？"
  • 【等差通项】"某商店每天营业额比前一天高X元，求某月总营业额？"
  • 【递推数列】"第一天做1个，以后每天比前一天多做1个，X天后共做整数箱，求X最小值？"
  • 【平均数】"若干人的成绩/费用求平均，已知条件求某个未知量？"

最值问题设问

  • 【最不利原则】"至少取多少个，才能保证一定有X个是同一类型？"
  • 【数列构造-最多最少】"得到最多的人至少得到多少？""排名第N的最多是多少？"
  • 【多集合反向】"三人共同借阅过的杂志最少有多少本？"

三、解题思路总览

A. 数列问题核心公式

1. 等差数列

公式 说明
通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$ $a_1$为首项，$d$为公差
求和公式：$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 或 $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)d}{2}$
项数公式：$n = \frac{a_n-a_1}{d} + 1$ 已知首项、末项、公差求项数
中项性质：$S_n = \text{中位数} \times \text{项数}$ 项数为奇数时，和=中间项×项数

2. 等比数列

公式 说明
通项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ $a_1$为首项，$q$为公比
求和公式：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 当$q \neq 1$时；$q=1$时$S_n=na_1$

3. 平均数

平均数 = $(a_1 + a_2 + \dots + a_n) / n$

B. 最值问题核心方法

1. 最不利原则

  • 题型特征：问法中出现"至少……才能保证(一定)……"
  • 核心思路：考虑最不利（与成功一线之差）的情况
  • 解题公式：保证数 = 最不利数 + 1

2. 数列构造

  • 题型特征：若干数之和为定值，问"最多的最少""最少的最多""排名第N的最多/最少"
  • 解题步骤：
    1. 排序：所有元素按大小排序
    2. 定位：求谁设谁为x
    3. 构造：要使某值尽可能大，则其他值尽可能小；反之亦然
    4. 求和：所有元素求和，解x
  • 取整规则：若x为小数，问最少→向上取整（如5.2取6）；问最多→向下取整（如5.2取5）

3. 多集合反向构造

  • 题型特征：多集合题目中，问"至少有多少……都……"
  • 方法一（反向构造）：反向求补集 → 补集加和 → 做差
  • 方法二（公式法，仅适用于此类最值问题）：
    • 两集合都满足至少 = $A + B - U$
    • 三集合都满足至少 = $A + B + C - 2U$
    • 四集合都满足至少 = $A + B + C + D - 3U$

四、典型题型拆分与例题精讲

题型一：等差数列求和

【例1】

某阶梯会议室有16排座位，后一排比前一排多2个，最后一排有40个座位。这个阶梯会议室共有多少个座位？
A.300　　B.350　　C.400　　D.440
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解析：

  1. 公差$d=2$，末项$a_{16}=40$，项数$n=16$
  2. 首项$a_1 = a_{16} - (16-1) \times 2 = 40 - 30 = 10$
  3. 求和：$S_{16} = 16 \times (10+40)/2 = 16 \times 25 = 400$

答案：C

【例2】

某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分正好成等差数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少？
A.602　　B.623　　C.627　　D.631
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解析：

  1. 9人平均86分 → 中位数（第5名）= 86分
  2. 前5名之和460分 → 第3名（前5名中位数）= 460÷5 = 92分
  3. 公差$d = (86-92)/2 = -3$（从第3名到第5名差2项）
  4. 第4名 = 86+3 = 89分，第7名 = 86−6 = 80分
  5. 前7名之和 = 7×(第4名) = 7×89 = 623分

答案：B

【例3】

某商店2020年3月每天的营业额比前一天高X元，该月10号的营业额是1号的4倍，12号的营业额为420元。问该商店2020年3月的营业额是多少元？
A.16740　　B.18425　　C.24120　　D.31620
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解析：

  1. 设1号营业额为a，则：$a_{10} = a + 9X = 4a \to X = a/3$
  2. $a_{12} = a + 11X = a + 11 \times (a/3) = 14a/3 = 420 \to a = 90$元
  3. $X = 90/3 = 30$元
  4. 3月有31天，$S_{31} = 31 \times 90 + 31 \times 30 \times 30/2 = 2790 + 13950 = 16740元$

答案：A

题型二：平均数问题

【例4】

某农村的农民自发组织到台湾旅行，费用包括：个人办理赴台手续费，在台旅行的车费平均每人503元，飞机票平均每人1998元，其它费用平均每人1199元。已知这次旅行的总费用是92000元，总的平均费用是4600元。问赴台的总人数和个人办理赴台手续费分别是多少？
A.20人，700元　　B.21人，650元　　C.20人，900元　　D.22人，850元
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解析：

  1. 总人数 = 92000 ÷ 4600 = 20人
  2. 手续费 = 4600 − 503 − 1998 − 1199 = 900元

答案：C

题型三：最不利原则

【例5】

有200人参加招聘会，其中法学70人，经济学60人，工业设计50人，统计学20人，至少有（　）人找到工作才能保证一定有50人的专业相同。
A.167　　B.168　　C.170　　D.175
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解析：

  1. 最不利情况：法学49人 + 经济学49人 + 工业设计49人 + 统计学20人（全部） = 167人
  2. 保证数 = 167 + 1 = 168人

答案：B

【例6】

某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同，问该单位至少有多少名党员？
A.17　　B.21　　C.25　　D.29
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解析：

  1. 从4项中选2项的组合数 = $C_4^2 = 6$种
  2. 最不利情况：每种组合各4人 = 6×4 = 24人
  3. 保证数 = 24 + 1 = 25人

答案：C

【例7】

某早餐店推出"10元2件"套餐，顾客花费10元即可在白粥、豆浆、油条、蛋饼、叉烧包、云吞面6个品类中任选2件，既可以选相同的，也可以选不同的。则至少售出（　）份该套餐时，一定有2份套餐的搭配完全一致。
A.15　　B.16　　C.21　　D.22
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解析：

  1. 相同品类组合：6种（如两份白粥）
  2. 不同品类组合：$C_6^2 = 15$种
  3. 总组合数 = 6 + 15 = 21种
  4. 保证数 = 21 + 1 = 22份

答案：D

题型四：数列构造

【例8】

现有21本故事书要分给5个人阅读，如果每个人得到的数量均不相同，那么得到故事书数量最多的人至少可以得到（　）本。
A.5　　B.7　　C.9　　D.11
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解析：

  1. 要使最多的尽可能小，则其他人尽可能大（但都小于最多者）
  2. 设最多者得x本，其他4人得x−1, x−2, x−3, x−4本
  3. 求和：$x + (x-1) + (x-2) + (x-3) + (x-4) = 21 \to 5x - 10 = 21 \to x = 6.2$
  4. 问最少 → 向上取整：x = 7本

答案：B

【例9】

某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门。假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？
A.10　　B.11　　C.12　　D.13
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解析：

  1. 设行政部门分得x人，其他6个部门最多各分x−1人
  2. 要使x最小，让其他部门尽可能多
  3. $x + 6(x-1) \geq 65 \to 7x - 6 \geq 65 \to x \geq 71/7 \approx 10.14$
  4. 向上取整：x = 11人

答案：B

【例10】

要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪最多栽多少棵桃树？
A.7　　B.8　　C.10　　D.11
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解析：

  1. 要使最大的尽可能多，则其他尽可能少
  2. 其他4块最少分别栽1, 2, 3, 4棵 = 10棵
  3. 最大的草坪最多栽：21 − 10 = 11棵

答案：D

题型五：多集合反向构造

【例11】

阅览室有100本杂志，小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有（　）本。
A.5　　B.10　　C.15　　D.30
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解析：

方法一（反向构造）：

  1. 没借阅的：小赵25本、小王30本、小刘40本
  2. 最不利：这些完全不重叠 = 25 + 30 + 40 = 95本
  3. 三人都借阅的至少 = 100 − 95 = 5本

方法二（公式法）：

三集合都满足 = 75 + 70 + 60 − 2×100 = 205 − 200 = 5本

答案：A

【例12】

某机构对全运会收视情况进行调查，在1000名受访者中，观看过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：
A.310人　　B.440人　　C.620人　　D.690人
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解析：

  1. 三集合都满足 = 87% + 75% + 69% − 2×100% = 231% − 200% = 31%
  2. 至少有 1000 × 31% = 310人

答案：A

【例13】

某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢？
A.5　　B.6　　C.7　　D.8
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解析：四集合都满足 = 35 + 30 + 38 + 40 − 3×46 = 143 − 138 = 5人

答案：A

五、高频易错点与命题陷阱

易错点 错误表现 正确应对
"保证"与"可能"混淆 "可能"用了最不利原则 "保证"用最不利+1；"可能"考虑最好情况
数列构造取整错误 问最少时向下取整 问最少→向上取整（5.2取6）；问最多→向下取整（5.2取5）
等差数列项数算错 忘记+1 项数 = (末项−首项)/公差 + 1
多集合公式系数错 三集合用−U而非−2U n个集合都满足 = Σ各集合 − (n−1)U
最不利情况漏项 忘记某类数量上限 各类取最不利值时注意实际数量上限（不能超过总数）

六、小结与刷题建议

核心要点回顾

  • 等差数列：$S_n = n(a_1+a_n)/2 = \text{中位数} \times \text{项数}$
  • 最不利原则：保证数 = 最不利数 + 1
  • 数列构造：排序→定位→反向构造→求和
  • 多集合公式：n集合都满足 = Σ各集合 − (n−1)×全集
  • 取整规则：问最少向上取整，问最多向下取整

刷题建议

  • 数列问题：等差数列求和、平均数各做3道，重点掌握项数公式和中项性质。
  • 最不利原则：重点练习"保证"类题目3-5道，区分"保证"和"可能"。
  • 数列构造：各做2道"最多最少""排名第N"类题目。
  • 多集合反向：熟记公式，做2-3道三集合、四集合题目。