本节定位：数字推理的“地基”。虽然纯粹的等差、等比数列考查较少，但它们是解决多级数列（做差）、递推数列（做商）等高难度题型的终极归宿。熟练掌握基础数列的通项公式和性质，是快速解题的关键。
一、考点概述
1. 什么是基础数列？
基础数列是指规律最简单、最直接的数列，通常包括常数数列、等差数列、等比数列和周期数列。
2. 考查形式
- 直接考查：主要出现在事业单位或部分省考的简单题中。
- 间接考查：作为复杂数列（如多级数列、分组数列）运算后的最终结果出现。
二、核心数列分类详解
1. 等差数列（Arithmetical Progression）
定义：从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。
特征：数列单调递增或递减，且变化幅度均匀（斜率大致恒定）。
核心公式：
- 通项公式：$$ a_n = a_1 + (n-1)d $$
- 前 $n$ 项和：$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)d}{2} $$
- 中项性质（高频）：$$ 2a_n = a_{n-1} + a_{n+1} $$（即中间项是两边项的算术平均数）
特殊形态：
- 二级等差：原数列做一次差后构成等差数列（如 1, 2, 4, 7, 11... 差为 1, 2, 3, 4...）。
2. 等比数列（Geometric Progression）
定义：从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数（$q \neq 0$）。
特征：数列具有“爆炸式”增长或衰减趋势。
核心公式：
- 通项公式：$$ a_n = a_1 \times q^{n-1} $$
- 前 $n$ 项和： $$ S_n = \begin{cases} \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} & (q \neq 1) \\ n a_1 & (q = 1) \end{cases} $$
- 中项性质（高频）：$$ a_n^2 = a_{n-1} \times a_{n+1} $$（即中间项的平方等于两边项的乘积）
特殊形态：
- 二级等比：原数列做一次差后构成等比数列（如 1, 3, 7, 15, 31... 差为 2, 4, 8, 16...）。
3. 周期数列
定义：数列从某一项开始，每隔固定的长度重复出现。
常见类型：
- 数字周期：1, 2, 3, 1, 2, 3...
- 符号周期：1, -2, 3, -4, 5, -6...（正负交替）
三、典型例题解析
【例1】二级等差数列
1, 4, 8, 13, 19, ( )
A. 24 B. 25 C. 26 D. 27
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解析：
- 看趋势：单调递增，幅度平缓 $\rightarrow$ 优先做差。
- 做差：$4-1=3, 8-4=4, 13-8=5, 19-13=6$。
- 找规律：差值构成公差为 1 的等差数列。下一项差值应为 7。
- 推导：$19 + 7 = 26$。
答案：C
【例2】等比数列变型
3, 6, 12, 24, 48, ( )
A. 96 B. 60 C. 72 D. 100
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解析：
- 看趋势：倍数关系明显。
- 做商：$6/3=2, 12/6=2, 24/12=2 \dots$ 公比为 2。
- 推导：$48 \times 2 = 96$。
答案：A
【例3】隔项等差（多重数列基础）
15, 26, 17, 24, 19, 22, ( )
A. 21 B. 20 C. 19 D. 18
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解析：
- 看特征：项数较多（7项），且大小波动。
- 隔项看：
- 奇数项：15, 17, 19, ( ) $\rightarrow$ 公差为 2 的等差数列 $\rightarrow 19+2=21$。
- 偶数项：26, 24, 22 $\rightarrow$ 公差为 -2 的等差数列。
答案：A
四、高频易错点
易错点1：忽视“负公差”
现象：习惯了递增数列，看到 10, 7, 4, 1... 反应不过来。
应对：时刻记得 $d$ 可以为负数。递减数列优先考虑负公差。
易错点2：等比数列的“变号”
现象：2, -4, 8, -16, 32... 容易算错符号。
应对：公比 $q = -2$。注意“一正一负”交替出现是负公比的典型特征。
五、备考建议
- 基本功：看到数列前三项（如 1, 4, 7...）能瞬间反应出通项公式 $3n-2$。
- 敏感度：训练对“差值”的敏感度。很多复杂数列做一次差后就是基础数列。