特征数列

本节定位：数字推理的“基本功”。特征数列是指数列中的数字本身具有鲜明的数学属性（如质数、合数、平方数、立方数），考生不需要进行复杂的运算（做差/做商），只需“一眼识别”即可秒杀。这是所有复杂数列的基础。

一、考点概述

1. 什么是特征数列？

特征数列是指数字本身具有特殊性质的数列。与需要计算差值的“多级数列”不同，特征数列的解题核心在于记忆和敏感度。

2. 考查形式

• 直接考查：整个数列就是质数、合数或幂次数。
• 作为子数列考查：在多级数列做差后，或者多重数列交叉后，出现特征数列。

二、核心特征分类详解

1. 质数数列（高频·必背）

定义：只能被 1 和它本身整除的大于 1 的自然数。

核心数列（前20个）：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71

常见陷阱：

• 陷阱1：把 1 当质数。记住：1 既不是质数也不是合数。数列 $1, 2, 3, 5 \dots$ 绝不是质数列。
• 陷阱2：把 9 当质数。看到 $3, 5, 7$，下意识填 9。这是错误的！如果是质数列，下一项是 11。
• 陷阱3：把 91, 119 当质数。
  • $91 = 7 \times 13$（合数）
  • $119 = 7 \times 17$（合数）

2. 合数数列（易被忽视）

定义：除了 1 和本身还有其他因数的自然数。

核心数列：

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20...

特征识别：

• 当数列中出现 9（奇数）混在一堆偶数（4, 6, 8, 10）中间时，大概率是合数数列。
• 例如：$4, 6, 8, 9, 10, 12 \dots$

3. 基础幂次数列（一眼秒杀）

在此处我们只讨论最直观的“纯幂次”，复杂的幂次修正将在后续章节详细讲解。

(1) 平方数

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,
121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400

敏感数字：看到 169, 196, 289 等三位数，立刻联想平方。

(2) 立方数

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000

敏感数字：看到 27, 64, 125，立刻联想立方。

(3) “变形金刚”数字（先不动原则）

有些数字既是平方又是立方，或者是多次方。在解题时，先不要急着定性，看它周围的数字规律。

• 1：可以是 $1^2, 1^3, 1^n, n^0$。
• 16：$4^2$ 或 $2^4$。
• 64：$8^2$ 或 $4^3$ 或 $2^6$。
• 81：$9^2$ 或 $3^4$。
• 256：$16^2$ 或 $4^4$ 或 $2^8$。
• 729：$27^2$ 或 $9^3$ 或 $3^6$。

三、典型例题解析

【例1】纯质数数列（基础）

2, 3, 5, 7, 11, ( )
A. 12　　B. 13　　C. 14　　D. 15

【例2】合数数列（易错）

4, 6, 8, 9, 10, 12, ( )
A. 13　　B. 14　　C. 15　　D. 16

【例3】幂次辨析（先不动原则）

1, 32, 81, 64, 25, ( )
A. 6　　B. 10　　C. 16　　D. 21

四、备考记忆清单

请务必在考前将以下数字烂熟于心（包含扩展版）：