递推数列找规律技巧_图形数字推理(圈三数法)

本节定位：数字推理的“压轴大戏”。递推数列是所有数列中最灵活、最难找规律的题型，而图形数列则是浙江、广东等省份的必考特色。掌握“圈三数”和“凑中心”的思维，是攻克难题的关键。

一、考点概述

题型	特征	核心思维	考查频率
递推数列	变化急剧（2-6倍及以上），无明显幂次特征	圈三数：用相邻两项（或三项）推导下一项	所有考试必考且为难点
图形数列	数字分布在图形中（圆圈、九宫格、三角形）	凑数：有心凑中间，无心找等式	浙江/广东/吉林必考

“看趋势，圈大数，做试探。”

浙江省考常出现三项递推（前三项运算得第四项）甚至隔项递推。

策略：凑中间。

策略：找等式。

2, 2, 3, 4, 9, 32, ( )
A. 129　　B. 215　　C. 257　　D. 283

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解析：

圈大数：圈出末尾的 4, 9, 32。
做试探：思考 4 和 9 如何得到 32？
- 乘法：$4 \times 9 = 36$，距离 32 多了 4。推测：$A \times B - 修正项 = C$。
- 验证前一组（3, 4, 9）：$3 \times 4 = 12$，距离 9 多了 3。
- 验证前一组（2, 3, 4）：$2 \times 3 = 6$，距离 4 多了 2。
找规律：
- 第一项 × 第二项 - 1 = 第三项 ($2 \times 2 - 1 = 3$)
- 第二项 × 第三项 - 2 = 第四项 ($2 \times 3 - 2 = 4$)
- 第三项 × 第四项 - 3 = 第五项 ($3 \times 4 - 3 = 9$)
- 第四项 × 第五项 - 4 = 第六项 ($4 \times 9 - 4 = 32$)
- 修正项规律：1, 2, 3, 4，(5)，为连续自然数数列。
计算：下一项应为 $9 \times 32 - 5 = 288 - 5 = 283$。

答案：D

2, 3, 7, 45, 2017, ( )
A. 4068271... 　　B. ...（选项均为大数，且尾数不同）

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解析：

观察趋势：从 45 直接跳到 2017，呈爆炸式增长，锁定平方或乘积规律。
做试探：
- 看 45 和 2017：$45^2 = 2025$，与 2017 相差 8。即 $45^2 - 8 = 2017$。
- 看 7 和 45：$7^2 = 49$，与 45 相差 4。即 $7^2 - 4 = 45$。
- 看 3 和 7：$3^2 = 9$，与 7 相差 2。即 $3^2 - 2 = 7$。
- 看 2 和 3：$2^2 = 4$，与 3 相差 1。即 $2^2 - 1 = 3$。
找规律：
- 主体规律：$A_n^2 - \text{修正项} = A_{n+1}$
- 修正项规律：1, 2, 4, 8，(16)，为公比是2的等比数列。
计算：下一项 = $2017^2 - 16$。
- 考场技巧：无需算出具体数值，只看尾数。
- $7^2$ 尾数是 9，减去 6，结果尾数应为 3。

答案：选择尾数为 3 的选项。

图1：三角顶点为 2, 3，底角为 5，中心为 25；
图2：三角顶点为 4, 8，底角为 6，中心为 72；
图3：三角顶点为 3, 7，底角为 9，中心为 90；
图4：三角顶点为 8, 9，底角为 17，中心为 ( )？

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解析：

分析图1：周边数字 2, 3, 5，如何得到 25？
容易发现 $(2+3) \times 5 = 25$。规律雏形：(上左 + 上右) $\times$ 下 = 中。
验证图2：$(4+8) \times 6 = 12 \times 6 = 72$。规律成立。
验证图3：$(3+7) \times 9 = 10 \times 9 = 90$。规律成立。
推导图4：$(8+9) \times 17 = 17 \times 17 = 289$。

答案：289

现象：推导出了 $A \times 2 + n$，但 $n$ 可能是 1, 2, 3，也可能是 1, 3, 5。甚至有难题中，$n$ 是前一项数字。

应对：修正项本身必须构成一个有规律的数列（等差、等比、常数、质数等），不能是毫无规律的乱序。

现象：只看前两项推第三项，死活做不出。

应对：如果是浙江/广东等地的题目，前两项推不出时，立刻尝试三项递推（$A+B+C=D$）。