本节定位：解决“混合问题”的终极武器。无论是浓度、平均数，还是资料分析中的增长率混合，只要涉及“两个部分混合成一个整体”，十字交叉法和线段法都能帮你跳过复杂的方程，直接秒杀答案。
一、方法背景与适用场景
1. 什么是十字交叉法与线段法？
十字交叉法实际上是一种方程计算过程中的简化形式，主要用来解决两者之间的比值混合问题。线段法是十字交叉法的变形，只是换了一种画法，在数轴上更直观。
2. 方法来源
十字交叉法最先是从溶液混合问题（两个部分混合成一个整体）衍生而来。若两种溶液质量分别为 $A$ 与 $B$，浓度分别为 $a$ 与 $b$，混合后浓度为 $r$，由溶质质量不变可得：
$$ A \times a + B \times b = (A+B) \times r \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{r-b}{a-r} $$
即：分母量之比 = 交叉做差之比。
3. 适用场景（题型特征）
看到符合 $A \times a + B \times b = (A+B) \times r$ 形式且存在混合的题目：
| 应用领域 | 对应关系（分母量） |
|---|---|
| 浓度 | = 溶质 / 溶液（分母是溶液质量） |
| 利润率 | = 利润 / 成本（分母是成本） |
| 增长率 | = 增长量 / 基期量（分母是基期量） |
| 平均数 | = 总数 / 人数（分母是人数） |
| 比重 | = 部分 / 整体（分母是整体量） |
二、常见设问方式
- “甲乙两队人数之和可能是？”（平均数混合）
- “购买的足球和篮球的数量之比是多少？”（折扣混合）
- “则 X 的值为？”（溶液混合）
- “2022年全年的增长率为？”（资料分析混合增长率）
三、标准操作步骤
步骤1：识别混合模型
确认题目符合“两个部分混合成一个整体”的形式（如：全年=上半年+下半年；进出口额=进口额+出口额）。
步骤2：画线段或十字
- 线段法口诀：部分写两边，混合写中间，距离与量成反比。
- 十字交叉口诀：整体写中间，部分写左边（大的在上，小的在下），交叉做差，得到分母之比。
步骤3：计算距离差，求反比
| 线段法 | 十字交叉法 |
|---|---|
| 左距离 $L_1 = |r - a|$ 右距离 $L_2 = |r - b|$ $$ \frac{L_1}{L_2} = \frac{B}{A} $$ （距离与分母量成反比） |
$a \rightarrow |r-b| \rightarrow$ 对应 A 的量 $r$ $b \rightarrow |r-a| \rightarrow$ 对应 B 的量 差之比 = 分母量之比 |
混合特性（定性秒杀）
- 居中原则：混合之后的数值一定是在原来两个数值之间（$a < r < b$）。
- 偏大原则：混合之后的数值一定偏向分母量更大那一方的数值。
四、典型例题精讲
题型一：溶液混合
【例1】
将1千克浓度为X的酒精，与2千克浓度为20%的酒精混合后，浓度变为0.6X。则X的值为？
A.50% B.48% C.45% D.40%
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解析：
- 画线段法：
$X$（1kg）----------- $0.6X$（混合）----------- $20\%$（2kg） - 确定比例：
质量比 = 1 : 2。
距离比 = 质量反比 = 2 : 1。 - 列式计算：
$X$ 到 $0.6X$ 的距离为 $0.4X$（对应 2 份）。
$20\%$ 到 $0.6X$ 的距离为 $|0.6X - 0.2|$（对应 1 份）。 $$ \frac{0.4X}{|0.6X - 0.2|} = \frac{2}{1} \Rightarrow 0.2X = |0.6X - 0.2| $$
解得 $X = 0.5$（即 50%）或 $X = 0.25$（即 25%）。
结合选项，选 A。
答案：A
题型二：平均数混合（求人数）
【例2】
甲队平均分88分，乙队平均分94分，两队总平均分92分。问甲乙两队人数之和可能是？
A.20 B.21 C.23 D.25
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解析：
- 画线段：
甲(88) ------- 混合(92) ------- 乙(94) - 计算距离：
左距离 $= 92 - 88 = 4$。
右距离 $= 94 - 92 = 2$。 - 推导比例：
距离比 $= 4 : 2 = 2 : 1$。
人数比（反比）$= 1 : 2$。 - 倍数特性：
总人数 $= 1 + 2 = 3$ 份，必须是 3 的倍数。
选项中只有 21 符合。
答案：B
题型三：动态过程混合
【例3】
输液300毫升（15滴/毫升），前5分钟滴速75滴/分钟，后10分钟滴速调整，剩余235毫升。求调整后的滴速。
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解析：
- 计算已滴部分：
已滴量 $= (300 - 235) \times 15 = 65 \times 15 = 975$ 滴。
总时间 $= 5 + 10 = 15$ 分钟。
混合平均滴速 $= 975 \div 15 = 65$ 滴/分钟。 - 画线段法：
前5分钟(75) ------- 混合(65) ------- 后10分钟(x) - 计算比例：
时间比（分母量）$= 5 : 10 = 1 : 2$。
距离比（反比）$= 2 : 1$。 - 求解：
左距离 $= 75 - 65 = 10$（对应 2 份）。
右距离 $= 10 \div 2 = 5$（对应 1 份）。
$x = 65 - 5 = 60$ 滴/分钟。
答案：60滴/分钟
题型四：折扣混合
【例4】
足球定价每个80元，篮球定价每个100元。商店分别给予足球25%、篮球20%的折扣，结果共少付22%。问购买的足球和篮球的数量之比是多少？
A.4:5 B.5:6 C.6:5 D.5:4
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解析：
- 十字交叉求总价之比：
分母量是总定价。
足球 25%与篮球 20% 混合成 22%。
距离：$|25-22|=3$，$|22-20|=2$。
距离比 $3:2 \Rightarrow$ 总定价之比（反比）$= 2 : 3$。 - 求数量之比：
数量 $= \text{总定价} \div \text{单价}$。
足球 : 篮球 $= \frac{2}{80} : \frac{3}{100} = \frac{1}{40} : \frac{3}{100} = 5 : 6$。
答案：B
五、与其他方法的对比
| 方法 | 关系 |
|---|---|
| 与方程法 | 十字交叉本质是方程的简化，遇混合问题十字交叉更快，省去列方程解方程的时间。 |
| 与资料分析 | 在求混合增长率时，用线段法判定偏向（偏向基期量大的一方），往往能不用计算直接选出答案。 |
六、易错点与练习建议
常见易错点
- 分母量找错：利润率的分母是成本（不是售价），增长率的分母是基期量（不是现期量）。
- 反比忘记倒过来：距离比 2:3，量之比应是 3:2（杠杆原理，距离与量成反比）。
- 忽略整除性：求人数时，总人数必须是比例之和的倍数。
刷题建议
- 核心口诀：部分写两边，混合写中间，距离与量成反比。
- 必练题型：溶液混合、平均数混合、资料分析混合增长率（定性判断）。