本节定位：数量关系中的“周期与分组”利器。掌握“中国剩余定理口诀”和“逐步满足法”，能让你在分组物资、周期报数等复杂应用题中快速解题。
一、方法背景与适用场景
1. 基础概念
- 余数基本关系式：$\text{被除数} \div \text{除数} = \text{商} \dots \text{余数}$ （$0 \le \text{余数} < \text{除数}$）。
- 余数基本恒等式：$\text{被除数} = \text{除数} \times \text{商} + \text{余数}$。
- 同余：若两个整数 $a$ 和 $b$ 除以 $m$ 所得余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$ 同余，记作 $a \equiv b \pmod m$。
2. 余数可加减乘特性
- 可加性：$28+16=44$，$44 \div 3$ 余 2。可拆分为：$28 \div 3$ 余 1，$16 \div 3$ 余 1 $\rightarrow$ 余 $1+1=2$。
- 可减性：$28-16=12$，$12 \div 3$ 余 0。可拆分为：余 $1-1=0$。
- 可乘性：$28 \times 16=448$，$448 \div 3$ 余 1。可拆分为：余 $1 \times 1=1$。
3. 适用场景（题干特征）
- 题目出现“每人”、“平均”、“多几个”、“少几个”、“分一组多/剩”等关键词。
- 分组问题：已知物品按不同数量分组后的剩余情况，求总数。
- 周期问题：已知循环周期，求第 $N$ 项的状态。
二、常见设问方式
- “这批物资至少有多少个？”（求最小值）
- “该单位员工人数在 300-400 之间，问有多少人？”（结合范围求特定值）
- “下一次出现这种情况是在第几天？”（求周期）
三、标准操作步骤
步骤1：列出同余方程
根据题干描述，将条件转化为同余方程。
例：“每 3 人一组剩余 1 人” $\rightarrow x \equiv 1 \pmod 3$。
步骤2：观察余数特征，选择方法
| 特征 | 口诀 | 通项公式 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 余数相同 | 余同加余 | $T = \text{LCM} \times n + \text{余数}$ | $\div 3$ 余 2，$\div 4$ 余 2 $\rightarrow 12n + 2$ |
| 差相同（除数-余数） | 差同减差 | $T = \text{LCM} \times n - \text{差}$ | $\div 5$ 余 4，$\div 4$ 余 3（差均为1） $\rightarrow 20n - 1$ |
| 和相同（除数+余数） | 和同加和 | $T = \text{LCM} \times n + \text{和}$ | $\div 3$ 余 2，$\div 4$ 余 1（和均为5） $\rightarrow 12n + 5$ |
注：LCM 为除数的最小公倍数。
步骤3：求解
- 口诀符合：直接套通项公式，结合题目给出的范围定具体值。
- 口诀不符合：用逐步满足法（先写出满足一个条件的数，再逐步筛选满足第二个、第三个条件）。
- 选择题首选：代入排除法（直接代入选项验证余数条件，最快最稳）。
四、典型例题精讲
题型一：差同减差
【例1】
盒子里有乒乓球100多个。每次取5个剩下4个，每次取4个剩下3个，每次取3个剩下2个。那么每次取12个剩下多少个？
A.11 B.10 C.9 D.8
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解析：
- 观察特征：
$\div 5$ 余 4（差 $5-4=1$）
$\div 4$ 余 3（差 $4-3=1$）
$\div 3$ 余 2（差 $3-2=1$）
差均为 1，符合“差同减差”。 - 写通项公式：
LCM(5, 4, 3) = 60。
$T = 60n - 1$。 - 确定数值：
题目要求“100多个”，当 $n=2$ 时，$T = 120 - 1 = 119$。 - 求解设问：
$119 \div 12 = 9 \dots 11$。
答案：A
【例2】
一支参加阅兵的队伍，人数是5的倍数且不少于1000人。如果每横排扗4人编队，最后少3人；如果每横排扗3人编队，最后少2人；如果每横排扗2人编队，最后少1人。请问，这支队伍最少有多少人？
A.1045 B.1125 C.1235 D.1345
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解析：
- 转化条件：
“少3人” $\rightarrow$ 缺 3 即余 1（$\div 4$ 余 1）。
“少2人” $\rightarrow$ 缺 2 即余 1（$\div 3$ 余 1）。
“少1人” $\rightarrow$ 缺 1 即余 1（$\div 2$ 余 1）。 - 观察特征：余数皆为 1，符合“余同加余”。
- 写通项公式：
LCM(4, 3, 2) = 12。
$T = 12n + 1$。 - 结合条件求解：
要求 $T$ 是 5 的倍数且 $\ge 1000$。
$T$ 的尾数必须是 0 或 5。
$12n$ 的尾数必须是 9（不可能）或 4。
当 $12n$ 尾数为 4 时，$n$ 须以 2 或 7 结尾。
尝试 $n=87$，$T = 12 \times 87 + 1 = 1045$，满足条件。
答案：A
题型二：余同加余
【例3】社工招募
某社区计划组建多支社工团队。如果每支团队由3名社工组成，则剩余2名；如果每支团队由4名社工组成，同样剩余2名。问该社区可能招募了（）名社工。
A.32 B.34 C.36 D.38
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解析：
- 观察特征：余数都是 2，符合“余同加余”。
- 通项公式：
LCM(3, 4) = 12。
$T = 12n + 2$。 - 验证选项：
A: $32 - 2 = 30$（非12倍数）
B: $34 - 2 = 32$（非12倍数）
C: $36 - 2 = 34$（非12倍数）
D: $38 - 2 = 36$（是12倍数），符合。
答案：D
题型三：逐步满足法（口诀不适用）
【例4】
一群学生分小组在户外活动，如3人一组还多2人，5人一组还多3人，7人一组还多4人，则该群学生的最少人数是？
A.23 B.53 C.88 D.158
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解析：
- 观察特征：余数不同（2, 3, 4），差不同（1, 2, 3），和不同（5, 8, 11）。口诀失效。
- 逐步满足法：
先列满足 $\div 5$ 余 3 的数：3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53...
筛选同时 $\div 3$ 余 2 的：8（$8 \div 3 = 2 \dots 2$），23，38，53...（通项 $15k + 8$）。
筛选同时 $\div 7$ 余 4 的：
$k=0, T=8$（不符）；
$k=1, T=23$（$23 \div 7 = 3 \dots 2$ 不符）；
$k=2, T=38$（$38 \div 7 = 5 \dots 3$ 不符）；
$k=3, T=53$（$53 \div 7 = 7 \dots 4$ 符合）。
答案：B
【例5】
学生在操场上列队做操，人数在90-110之间。排成3排则不多不少；排成5排则少2人；排成7排则少4人。则学生人数是多少？
A.102 B.98 C.104 D.108
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解析：
- 转化条件：
$\div 3$ 余 0。
$\div 5$ 少 2 $\rightarrow \div 5$ 余 3。
$\div 7$ 少 4 $\rightarrow \div 7$ 余 3。 - 观察特征：$\div 5$ 和 $\div 7$ 的余数均为 3（余同）。
- 合并部分条件：
LCM(5, 7) = 35。
$T = 35n + 3$。 - 结合范围筛选：
$n=1, T=38$；
$n=2, T=73$；
$n=3, T=108$（在 90-110 之间）。 - 验证剩余条件：
验证 $108 \div 3 = 36 \dots 0$，符合。
答案：D
五、与其他方法的对比
| 方法 | 关系 |
|---|---|
| 与倍数特性 | 余数特性常结合倍数特性使用。如“每人分10个还剩3个” $\rightarrow$ （总数-3）能被 10 整除。 |
| 与代入排除 | 在选择题中，代入排除法优先级最高。直接将选项代入验证“是否 $\div 3$ 余 2”等条件，通常比推导通项公式更快。 |
六、易错点与练习建议
常见易错点
- 口诀乱用：看到两个余数直接相加 $\rightarrow$ 必须严格检查是否满足“余同/差同/和同”条件。
- 忽略“少/缺”含义：如“少 2 人”是指“除数 - 2 = 余数”，而非余 2。
- 死算通项公式：选择题无需每次都推导公式，优先尝试代入选项。
刷题建议
- 核心口诀：余同加余，差同减差，和同加和，最小公倍数作周期。
- 策略优先级：代入排除 > 口诀秒杀 > 逐步满足法。
- 专项练习：重点练习“差同减差”题型，这是考试最常见的出题陷阱。