本节定位：数量关系的“定性分析”利器。奇偶特性通过判断数字的“单双”属性，不计算具体数值就能快速排除选项；放缩思想则通过“极端假设”确定答案范围。两者结合，是解决不定方程、知和求差、最值估算问题的高效工具。
一、方法背景与适用场景
1. 奇偶性基本概念
- 奇数：不能被 2 整除的数（如 1、3、5），公式表示：$2k+1$。
- 偶数：能被 2 整除的数（如 0、2、4），公式表示：$2k$。
2. 放缩思想基本概念
放缩思想是指在无法或无需精确计算时，通过放大或缩小某些条件，确定答案的大致范围或上下界，从而排除选项的方法。
3. 适用场景（题干特征）
| 方法 | 适用题型 |
|---|---|
| 奇偶性 | 不定方程（用奇偶排除选项）、知和求差、和差倍比问题、涉及质数的问题（需记住 2 是唯一的偶质数）。 |
| 放缩思想 | 求“最多/最少”、鸡兔同笼变体、估算范围、带不等式的计算。 |
二、常见设问方式
- “甲教室当月共举办了多少次培训？”（不定方程，利用奇偶秒杀）
- “书比杂志贵多少钱？”（知和求差）
- “这支队伍最少有多少人？”（放缩确定下界）
- “最多可植树多少棵？”（不等式放缩）
三、标准操作步骤
步骤1：识别关键量的奇偶性
根据题干信息，判断已知量（如总数、系数）的奇偶性。
步骤2：应用奇偶运算性质
| 运算 | 规律 | 示例 |
|---|---|---|
| 加减法 | 同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇 | $3+5=8$ (偶)，$3+4=7$ (奇) |
| 乘法 | 有偶则偶，全奇才奇 | $3 \times 5=15$ (奇)，$3 \times 4=12$ (偶) |
步骤3：利用核心推论排除选项
- 和差同性：两数和与差的奇偶性相同。即 $a+b$ 与 $a-b$ 同奇偶。
- 奇偶传递：和/差为奇 $\rightarrow$ 两数必一奇一偶；和/差为偶 $\rightarrow$ 两数必同奇同偶。
- 偶系数恒偶：任意自然数与偶数相乘，结果必为偶数（如 $4x$ 恒为偶，这是解不定方程的杀手锏）。
步骤4：利用放缩确定范围
当选项差距较大或问极值时，假设所有变量均取最大值（或最小值），算出边界，排除不符选项。
四、典型例题精讲
题型一：知和求差（和差同性）
【例1】
一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上的数字和十位上的看反了，准备付21元取货。售货员说：“您应该付39元才对。”请问书比杂志贵多少钱？
A.20 B.21 C.23 D.24
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解析：
- 利用和差同性：
已知 书 + 杂志 $= 39$（奇数）。
由和差同性可知，书 - 杂志 也必为奇数。 - 排除选项：
排除 A (20)、D (24)。剩 B、C。 - 进一步验证：
设书价为 $10a+b$，看反后为 $10b+a$。
$(10a+b) - (10b+a) = 39 - 21 = 18 \Rightarrow 9(a-b) = 18 \Rightarrow a-b=2$。
若书价31，杂志8，和39，差23。符合。
答案：C
题型二：不定方程（偶系数恒偶）
【例2】
每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参加植树活动。已知去A地每人往返车赹20元，人均植根5棵；去B地每人往返车赹30元，人均植根3棵。设到A地有员工x人，A、B两地共植树y棵，y与x之间满足y=8x-15。若往返车费总和不超过3000元时，最多可植树多少棵？
A.498 B.400 C.489 D.500
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解析：
- 分析奇偶性：
$y = 8x - 15$。
$8x$ 恒为偶数，$15$ 为奇数。
偶 - 奇 = 奇。所以 $y$ 必为奇数。 - 排除选项：
A(498)、B(400)、D(500) 均为偶数，直接排除。
无需计算复杂的不等式，直接秒杀。
答案：C
【例3】
某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坳10人，乙教室每排可坰9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？
A.8 B.10 C.12 D.15
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解析：
- 列方程：
甲容纳 $= 50$ 人/次，乙容纳 $= 45$ 人/次。设甲 $x$ 次，乙 $y$ 次。
① $x + y = 27$ （和为奇）
② $50x + 45y = 1290$ - 奇偶分析：
由②，$50x$ 恒偶，$1290$ 偶 $\rightarrow 45y$ 必偶 $\rightarrow y$ 必偶。
由①，$x + y$ 为奇，且 $y$ 为偶 $\rightarrow x$ 必为奇数。 - 排除选项：
选项中只有 D(15) 为奇数。
答案：D
题型三：不定方程奇偶判定
【例4】
271位游客乘大客车（37座/辆）和小客车（20座/辆），每车满载无空座。求需大客车数？
A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆
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解析：
- 列方程：$37x + 20y = 271$。
- 奇偶分析：
$271$ 为奇数。$20y$ 恒为偶数。
$\rightarrow 37x$ 必须为奇数 $\rightarrow x$ 必须为奇数。
排除 C(2)、D(4)。 - 代入验证：
代入 A(1)：$20y = 271 - 37 = 234$，不可整除。
代入 B(3)：$20y = 271 - 111 = 160 \Rightarrow y=8$。符合。
答案：B
题型四：放缩思想应用
【例5】放缩确定范围
某次考试满分100分，共5道题，每题20分。甲、乙、丙三人得分分别为60、80、100。三人中每个人都至少答对了一道题，问三人共同答对的题目最少有几道？（假设答对得分，答错0分）
A.1 B.2 C.3 D.0
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解析：
- 逆向思维（放缩）：要让“共同答对”最少，就要让“错题”尽量不重叠。
- 算错题总数：
甲错 2 题，乙错 1 题，丙错 0 题。
总错题数 $= 2 + 1 + 0 = 3$ 题次。 - 极端分配：
假设这 3 次错误分别发生在不同的题目上，最多涉及 3 道题。
总共 5 道题，减去涉及错误的 3 道，剩下 $5 - 3 = 2$ 道题是必然全对的。
答案：B
五、与其他方法的对比
| 方法 | 关系 |
|---|---|
| 与倍数特性 | 偶数即 2 的倍数，奇偶判断实质上是最简单的倍数判定，通常作为第一步筛选。 |
| 与尾数法 | 不定方程中，奇偶法和尾数法常结合使用，先奇偶排除一半，再用尾数缩小范围。 |
| 与代入排除 | 奇偶排除后，剩余选项仍需代入验证是否符合整数解条件。 |
六、易错点与练习建议
常见易错点
- 混淆奇系数与偶系数：$3x$ 的奇偶性取决于 $x$（可奇可偶），而 $4x$ 恒为偶数。
- 忽略偶质数：涉及质数和为奇数时，必有一个是偶质数 2。
- 未代入验证：奇偶排除后，必须验算解是否为整数。
刷题建议
- 核心口诀：
同奇同偶和为偶，一奇一偶和为奇；
有偶则偶，全奇才奇；
和差同性（和奇差必奇，和偶差必偶）。 - 专项训练：重点练习利用奇偶性秒杀不定方程选项，体验“不算而算”的快感。