本节定位：解题思维中的“回马枪”。当题目描述了一个复杂的动态变化过程，而初始状态未知、最终状态已知时，最好的办法是从结果出发，一步步“倒着走”回去。
一、方法背景与适用场景
1. 什么是反推还原？
当从正面求解所涉及的情况比较复杂、计算麻烦时，可以从最终状态作为突破口进行反推计算。将过程颠倒，形成与之相反的运算过程，从后往前获得所求值。
2. 逆运算规则
- 原操作“加” $\rightarrow$ 反推时“减”
- 原操作“减” $\rightarrow$ 反推时“加”
- 原操作“乘” $\rightarrow$ 反推时“除”
- 原操作“除” $\rightarrow$ 反推时“乘”
3. 适用场景（题干特征）
- 题目出现“操作后结果”、“交换后相等”等描述。
- 物资分配还原：甲给乙、乙给丙、丙给甲...最后一样多。
- 运算链还原：某数加几乘几...最后等于某值。
- 分配问题：描述含“一半多 $k$”或“一半少 $k$”等条件。
二、常见设问方式
- “原来甲筐中有枸杞多少斤？”（物资分配还原）
- “这个数是多少？”（运算链还原）
- “这捆彩带原长是多少米？”（连续分配还原）
- “原先人数最多的小组与最少的相差多少？”（多对象变动）
三、标准操作步骤
步骤1：确定最终状态
根据题干列出经过所有操作后的结果。
步骤2：按操作顺序的反向执行逆运算
从最后一步操作开始，逐步还原。
步骤3：得出初始状态
反推到第一步操作之前，即为原始数量。
多变量交错还原（列表法）
多个对象之间发生多次物品交换时：
- 用表格记录每次交换后各对象状态。
- 从最终状态倒序还原交换过程。
- 关键逻辑：若“甲给乙 $a$ 个”，逆推时需“从乙处取回 $a$ 个还给甲”。
分配问题公式
若描述“用去一半多 $k$”，则逆推公式为：
$$ \text{前一步量} = (\text{当前量} + k) \times 2 $$
四、典型例题精讲
题型一：多变量交错还原（表格法）
【例1】
某助农志愿小分队采摘到甲、乙、丙三筐枸杵共144斤。第一次从甲筐中取出与乙筐一样重的枸杵放入乙筐，第二次再从现有乙筐中取出与丙筐一样重的枸杵放入丙筐，第三次从现有丙筐中取出与现有甲筐一样重的枸杵放入甲筐，此时三筐枸杵一样重。那么原来甲筐中有枸杵：
A.36斤 B.48斤 C.56斤 D.66斤
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解析：
确定终态：共 144 斤，最后一样重，每筐 $144 \div 3 = 48$ 斤。
| 状态 | 甲 | 乙 | 丙 | 逆向操作说明 |
|---|---|---|---|---|
| 最终 | 48 | 48 | 48 | - |
| ③逆推 (丙给甲) | $48 \div 2 = 24$ | 48 | $48 + 24 = 72$ | 丙给甲之前，甲只有现在的一半，丙要把给的拿回来。 |
| ②逆推 (乙给丙) | 24 | $48 + 36 = 84$ | $72 \div 2 = 36$ | 乙给丙之前，丙只有现在的一半，乙要把给的拿回来。 |
| 初始 (甲给乙) | $24 + 42 = 66$ | $84 \div 2 = 42$ | 36 | 甲给乙之前，乙只有现在的一半，甲要把给的拿回来。 |
答案：D
【例2】
某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加2人并重新分配，使得四个小组人数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加10人，第二小组人数减少1人，第三小组人数增加一倍，第四小组人数减半。则原先人数最多的小组与人数最少的小组之间相差：
A.15人 B.21人 C.24人 D.32人
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解析：
- 设未知数：设现在每组人数为 $x$。
- 反推原先人数：
第一组原：$x - 10$（现增加10）
第二组原：$x + 1$（现减少1）
第三组原：$x / 2$（现增加一倍，即变为2倍）
第四组原：$2x$（现减半） - 列方程：
原总人数 $+ 2 = \text{现总人数}$。 $$ (x-10) + (x+1) + \frac{x}{2} + 2x = 4x - 2 $$ $$ 4.5x - 9 = 4x - 2 $$ $$ 0.5x = 7 \Rightarrow x = 14 $$ - 计算原人数：
第一组：$14 - 10 = 4$
第二组：$14 + 1 = 15$
第三组：$14 / 2 = 7$
第四组：$14 \times 2 = 28$ - 求差值：
$28 - 4 = 24$ 人。
答案：C
题型二：运算链还原
【例3】
某数加上5再乘以5再减去5再除以5，最终结果还是5。这个数是多少？
A.0 B.1 C.-1 D.5
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解析：
- 正向链：$x \xrightarrow{+5} \dots \xrightarrow{\div 5} 5$。
- 逆向链：
结果为 5。
逆 $\div 5$：$5 \times 5 = 25$。
逆 $- 5$：$25 + 5 = 30$。
逆 $\times 5$：$30 \div 5 = 6$。
逆 $+ 5$：$6 - 5 = 1$。
答案：B
题型三：分配问题（一半多/少 k）
【例4】
一捆彩带先用一半多10米，再用剩余一半多20米，剩95米。求原长？
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解析：
- 第二次逆推：
剩 95 米。
第二次用前（即第一次剩余）：$(95 + 20) \times 2 = 230$ 米。 - 第一次逆推：
第一次剩余 230 米。
原长：$(230 + 10) \times 2 = 480$ 米。
答案：480米
五、与其他方法的对比
| 方法 | 对比 |
|---|---|
| 与正向列方程 | 多步操作题，正向列方程往往涉及多层嵌套，解起来复杂；反推法只需简单的四则运算。 |
| 与代入验证 | 当正向推导也比较复杂时，直接代入选项验证效率更高。 |
| 何时优先用 | 题干明确给出最终状态，问初始状态时，第一时间想反推还原。 |
六、易错点与练习建议
常见易错点
- 顺序错乱：未严格按操作逆序还原。
- 还原方向搞反：甲给乙，逆推时应是“乙还给甲”，不是“甲还给乙”。
- 忽略整除：反推后出现小数需检查合理性（人数、物品数应为整数）。
刷题建议
- 核心口诀：从后往前推，符号全变反；加变减，乘变除。
- 专项训练：找 3 道“三筐苹果/枸杞”互相倒的真题，画表格练习，直到能一次性推对无误。