本节定位：方阵问题是行测中的小众题型，核心是掌握"每边人数、层数、总人数"之间的数量关系。公式固定，一旦记牢即可快速解题。
一、考点概述
1. 什么是方阵问题？
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
2. 方阵的分类
- 实心方阵：元素填满中心区域，所有位置都有人或物。
- 空心方阵：中心区域空缺，只有外围若干层有人或物。
- 长方阵：排成长方形而非正方形的阵列。
3. 核心关系
方阵问题的本质是"每边人数"与"总人数/层人数"的对应关系，以及相邻层之间的等差规律。
二、常见设问方式
- 【求总人数】"学生排成方阵，最外层有X人，求总人数？"
- 【求层人数】"方阵由外到内第N层有多少人？"
- 【空心方阵】"X层空心方阵，最外层每边Y人，求总人数？"
- 【增减变化】"去掉一行一列后，人数减少了X人，求原方阵人数？"
- 【颜色交替】"红黄两色从外向内交替摆放，求某色总数？"
- 【方阵合并】"甲乙两个方阵合并成新方阵，求总人数？"
三、解题思路总览
1. 实心方阵公式（必背）
| 公式 | 说明 |
|---|---|
| 总人数 = n² | n为最外层每边人数 |
| 最外层人数 = 4n − 4 | 或写成 4(n−1)。注意：最外层人数必为4的倍数。 |
| 某层人数 = 4×该层每边人数 − 4 | 即 (该层每边人数−1)×4 |
| 相邻两层人数相差8 | 每向里一层，每边减2人，总人数减8人 |
| 由最外层人数求每边人数 | n = 最外层人数÷4 + 1 |
2. 空心方阵公式
| 公式 | 说明 |
|---|---|
| 总人数 = (最外层每边人数 − 层数) × 层数 × 4 | 空心方阵核心公式 |
| 相邻两层人数相差8 | 与实心方阵相同 |
3. 长方阵公式
| 公式 | 说明 |
|---|---|
| 总人数 = M × N | M、N为长方形两边人数 |
| 最外层人数 = 2(M + N) − 4 | 长方形周长计数（扣除4个角） |
| 相邻两层人数相差8 | 与正方形方阵相同 |
4. 方阵增减公式
- 去掉一行一列：减少人数 = 2n − 1（去掉一个"L"型）
- 去掉两行两列：减少人数 = 4(n − 1)，相当于去掉最外圈
- 去掉m行n列：减少人数 = N×(m+n) − m×n（N为原每边人数）
四、典型题型拆分与例题精讲
题型一：实心方阵基础
【例1】
学生排成方阵，最外层60人，总人数是多少？
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解析：
- 由最外层人数求每边人数：n = 60÷4 + 1 = 16
- 总人数 = 16² = 256人
答案：256人
【例2】
某部队的全体官兵刚好排成一个方阵，最外层人数是128人，则该部队共有多少名官兵？
A.529 B.783 C.1089 D.1122
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解析：
- 每边人数：n = 128÷4 + 1 = 33
- 总人数 = 33² = 1089人
答案：C
题型二：由某层人数反推
【例3】
将某年级若干名学生排成一个方阵学习太极拳，已知方阵由外到内第三层有76人，则该方阵共有学生（ ）人。
A.484 B.529 C.576 D.625
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解析：
- 设第三层每边人数为k，则：4k − 4 = 76 → k = 20
- 每向外一层，每边增加2人。向外推两层（到最外层），每边增加 2×2=4人。
- 最外层每边 = 20 + 4 = 24
- 总人数 = 24² = 576人
答案：C
题型三：空心方阵
【例4】
6层空心方阵，最外层每边18人，求总人数。
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解析：
总人数 = (18 − 6) × 6 × 4 = 12 × 24 = 288人
答案：288人
【例5】
有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有68人，中间一层关44人，则该方阵士兵的总人数是：
A.296人 B.308人 C.324人 D.348人
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解析：
- 最外层68人，每边 = 68÷4 + 1 = 18人
- 中间层44人，每边 = 44÷4 + 1 = 12人
- 外层到中间层差：(18−12)÷2 = 3层，说明中间层是第4层（包含首尾），总层数为 $3 \times 2 + 1 = 7$层。
- 用空心公式：总人数 = (最外层每边 − 层数) × 层数 × 4
- 总人数 = (18 − 7) × 7 × 4 = 11 × 28 = 308人
答案：B
【例6】
用64盆花围成每边两层的空心方阵，若在外再增加一层成为三层空心方阵，需增加多少盆花？
A.44 B.48 C.52 D.60
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解析：
- 设原两层空心方阵最外层每边为n，则：(n−2)×2×4 = 64 → n = 10
- 增加一层后最外层每边 = 10 + 2 = 12
- 新增一层人数（即新的最外层） = 4×12 − 4 = 44盆
答案：A
题型四：方阵增减变化
【例7】
参加某运动会的全体运动员在开幕式上恰好排成一个正方形，有两行两列的运动员离场后，运动员人数减少64人，则参加该运动会的运动员人数为（ ）。
A.225 B.256 C.289 D.324
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解析：
- 去掉两行两列 = 去掉最外圈，减少人数 = 4(n−1) = 64
- 解得：n − 1 = 16 → n = 17
- 总人数 = 17² = 289人
答案：C
题型五：颜色交替方阵
【例8】
用红、黄两色鲜花组成的实心方阵，最外层是红花，从外往内每层按红花、黄花相间摆放。如果最外一圈的正方形有红花44盆，那么完成造型共需黄花：
A.48盆 B.60盆 C.72盆 D.84盆
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解析：
- 最外层44盆，每边 = 44÷4 + 1 = 12
- 各层人数（从外到内）：44、36、28、20、12、4
- 红花在第1、3、5层：44 + 28 + 12 = 84盆
- 黄花在第2、4、6层：36 + 20 + 4 = 60盆
答案：B
【例9】
有绿、白两种颜色且尺寸相同的正方形瓷砖共400块，将这些瓷砖铺在一块正方形的地面上：最外面的一周用绿色瓷砖铺，从外往里数的第二周用白色瓷砖铺，第三周用绿色瓷砖，第四周用白色瓷砖……这样依次交替铺下去，恰好将所有瓷砖用完。这块正方形地面上的绿色瓷砖共有多少块：
A.180 B.196 C.210 D.220
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解析：
- 总数400 = 20²，每边20块
- 各层瓷砖数（从外到内）：76、68、60、52、44、36、28、20、12、4
- 共10层，绿色在奇数层（1、3、5、7、9）：76 + 60 + 44 + 28 + 12 = 220块
答案：D
题型六：长方阵
【例10】
一个由边长25人和15人组成的矩形方阵，最外面两圈人数总和为：
A.232 B.144 C.165 D.196
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解析：
- 最外层人数 = 2(25+15) − 4 = 76人
- 第二层人数 = 76 − 8 = 68人
- 两圈总和 = 76 + 68 = 144人
答案：B
题型七：方阵合并
【例11】
某次运动会需组织长宽相等的方阵。组织方安排了一个鲜花方阵和一个彩旗方阵，两个方阵分别入场完毕后又合成了一个方阵，鲜花方阵的人恰好组成了新方阵的最外围。已知彩旗方阵比鲜花方阵多28人，则新方阵的总人数为（ ）
A.100 B.144 C.196 D.256
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解析：
- 设鲜花方阵每边a人，总人数a²；彩旗方阵每边b人，总人数b²
- 合并后：鲜花组成最外围 → 彩旗方阵恰好填满内部 → 新方阵每边 = b + 2
- 鲜花人数 = 新方阵最外围 = 4(b+2) − 4 = 4b + 4
- 由a² = 4b + 4，且b² − a² = 28
- 代入：b² − (4b+4) = 28 → b² − 4b − 32 = 0 → (b−8)(b+4) = 0 → b = 8
- 新方阵每边 = 8 + 2 = 10，总人数 = 10² = 100人
答案：A
五、高频易错点与命题陷阱
| 易错点 | 错误表现 | 正确应对 |
|---|---|---|
| 空心方阵公式漏层数 | 直接用n²算总人数 | 空心方阵必须用：(外边−层数)×层数×4 |
| 最外层人数求反 | 用4n+4代替4n−4 | 最外层人数 = 4n − 4，反推n = (人数+4)÷4 |
| 相邻层差值记错 | 以为相邻层差4人 | 相邻两层人数相差8人（每边差2，四边差8） |
| 最内两层差值特例 | 忽略n为奇数时最内层只有1人 | 当最内层为1人时，次内层为8人，两层差7人 |
| 增减公式混淆 | 去两行两列用2n−1 | 去一行一列：2n−1（去L型）；去两行两列：4(n−1)（去外圈） |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 实心方阵：总人数 = n²，最外层 = 4n−4
- 空心方阵：总人数 = (外边−层数)×层数×4
- 长方阵：总人数 = M×N，最外层 = 2(M+N)−4
- 相邻层规律：每边差2人，每层差8人
- 增减变化：去一行一列减2n−1人，去两行两列减4(n−1)人
- 总人数为完全平方数：可用选项反推验证
刷题建议
- 基础必练：实心方阵求总人数、由最外层反推每边人数各2道。
- 进阶题型：空心方阵、颜色交替各做2道。
- 速算技巧：熟记常见完全平方数（144、169、196、225、256、289、324...），便于选项验证。