本节定位：排列组合是数量关系的核心题型之一，也是概率问题的基础。学好排列组合的关键在于：分清分类与分步，以及辨析有序与无序。本节讲解基础概念和常用方法，进阶内容（插板法、错位排列等）请见下一节。

一、考点概述

1. 什么是排列组合？

排列组合是研究“从若干元素中按规则选取”的计数问题：

  • 排列：从 n 个元素中取出 m 个进行有序排列（顺序不同算不同）
  • 组合：从 n 个元素中取出 m 个，无序选取（顺序不同算一样）

排列组合与概率密不可分，概率的计算往往建立在排列组合的基础之上。

2. 考查频率

考试类型年均题量难度定位备注
国考1-2题中等到较难常与概率结合考查
省考联考1-2题中等捆绑法、插空法最常考
事业单位1题左右中等基础计数为主

3. 为什么要学排列组合？

  • 必考题型：每次考试几乎都会出现，无法回避
  • 概率基础：不学排列组合，概率题也做不了
  • 模型固定：常用方法就那么几个，掌握后拿分稳定
  • 逻辑清晰：只要思路对，答案就一定对，不像其他题型容易算错

二、常见设问方式

  • 【基础计数】 “共有多少种不同的选法/排法/分配方法？”
  • 【相邻问题】 “要求某些人必须相邻/挨在一起...” → 捆绑法
  • 【不相邻问题】 “要求某些人不能相邻/不能连续...” → 插空法
  • 【逆向问题】 “至少有一个.../不全是...” → 正难则反
  • 【特殊位置】 “某人不能在第一位/最后一位...” → 特殊优先

三、解题思路总览

核心原则：三看一优先

排列组合解题核心原则：
  1. 看有序/无序：有序用排列A，无序用组合C
  2. 看分类/分步：分类用加法（多选一），分步用乘法（一步一步来）
  3. 看正难/反易：正面复杂就用逆向思维
  4. 特殊优先：有限制条件的元素/位置先处理

常用方法速查

  • 捆绑法：解决“必须相邻” → 捆成一个整体再排列，最后内部排列
  • 插空法：解决“不能相邻” → 先排其他元素，再插入空隙
  • 逆向思维：解决“至少/至多” → 总数 - 不满足数
  • 特殊优先：有限制的先处理，再处理其他

四、两大核心原理

1. 加法原理（分类计数）

口诀：分类用加法，多选一。

完成一件事有 $n$ 类办法，第 1 类有 $m_1$ 种方法，第 2 类有 $m_2$ 种方法……则完成这件事共有 $N = m_1 + m_2 + \dots + m_n$ 种方法。

特征：每类方法都能独立完成整件事。

2. 乘法原理（分步计数）

口诀：分步用乘法，一步一步来。

完成一件事分 $n$ 个步骤，第 1 步有 $m_1$ 种方法，第 2 步有 $m_2$ 种方法……则完成这件事共有 $N = m_1 \times m_2 \times \dots \times m_n$ 种方法。

特征：每步只能完成一部分，缺一不可，连续做完才算完成。

【例1】

题目：从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地每天有直达班车5班，从丙地到乙地每天有直达班车3班，则从甲地到乙地共有多少种不同的乘车法？

A. 12种   B. 19种   C. 32种   D. 60种

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【解题思路】

分类讨论：直达或中转，两种方式都能独立完成 → 分类用加法

  • 直达：4种
  • 中转（甲→丙→乙）：分步计算，5×3=15种

总数 = 4 + 15 = 19种

【答案】B

五、排列与组合

核心区别：有序 vs 无序

维度排列 A组合 C
核心区别有序（顺序不同算不同）无序（顺序不同算一样）
关键词排队、分配不同任务、选班长学委选人组队、发东西、选代表
公式$A_n^m = n(n-1)(n-2)...$（乘m个数）$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}$
例子$A_7^4 = 7\times6\times5\times4 = 840$$C_7^3 = \frac{7\times6\times5}{3\times2\times1} = 35$

组合速算技巧（必背）

  • $C_n^m = C_n^{n-m}$ （选出带走 = 选出留下），如 $C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45$
  • $C_n^1 = n$，$C_n^n = 1$，$C_n^0 = 1$
  • 常用值：$C_5^2=10$，$C_6^2=15$，$C_6^3=20$，$C_7^3=35$，$C_8^2=28$，$C_9^2=36$

【例2】

题目：某部门从8名员工中选派4人参加培训，其中2人参加计算机培训，1人参加英语培训，1人参加财务培训，问不同的选法有多少种？

A. 256种   B. 840种   C. 1680种   D. 5040种

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【解题思路】

分步计算：

  • 8人中选2人参加计算机（无序）：$C_8^2 = 28$
  • 则6人中选1人参加英语：$C_6^1 = 6$
  • 则5人中选1人参加财务：$C_5^1 = 5$

总数 = $28 \times 6 \times 5 = 840$种

【答案】B

六、典型题型拆分

题型一：捆绑法（解决“必须相邻”）

识别特征：某些元素必须相邻/挨在一起/必须连续

解题步骤

  1. 捆绑：将要求相邻的元素捆成一个“大元素”
  2. 整体排列：将大元素与其他元素一起排列
  3. 内部排列：别忘了捆绑内部的排列！

【例3】

题目：四对情侣排成一队买演唱会门票，已知每对情侣必须排在一起，问共有多少种不同的排队顺序？

A. 24   B. 96   C. 384   D. 40320

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【解题思路】

  1. 捆绑：把4对情侣分别捆成 4 个“大元素”
  2. 整体排列：4个大元素排列 = $A_4^4 = 24$
  3. 内部排列：每对情侣内部排列 = $A_2^2 = 2$，共4对 = $2^4 = 16$

总数 = $24 \times 16 = 384$种

【答案】C

【例4】

题目：为加强机关文化建设，某市直属机关在系统内举办演讲比赛。3个部门分别派出3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围内？

A. 小于1000   B. 1000~5000   C. 5001~20000   D. 大于20000

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【解题思路】

  1. 捆绑：把3个部门分别捆成 3 个“大元素”
  2. 整体排列：3个大元素排列 = $A_3^3 = 6$
  3. 内部排列：$A_3^3 \times A_2^2 \times A_4^4 = 6 \times 2 \times 24 = 288$

总数 = $6 \times 288 = 1728$种，在1000~5000范围内

【答案】B

题型二：插空法（解决“必须不相邻”）

识别特征：某些元素不能相邻/不能连续/必须分开

解题步骤

  1. 先排其他：先排列没有限制的元素
  2. 找空：确定可插入的空隙数（一般n个元素有n+1个空）
  3. 插入：将不相邻元素插入空隙

【例5】

题目：将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有多少种不同的方法？

A. 8   B. 10   C. 15   D. 20

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【解题思路】

  1. 先排黄花：4盆同样的黄花排一排 → 只有1种
  2. 找空：4盆黄花形成5个空（_黄_黄_黄_黄_）
  3. 插红花：3盆同样的红花插入5个空中的3个（无序）→ $C_5^3 = 10$

总数 = $1 \times 10 = 10$种

【注意】因为红花和黄花都是“同样的”，所以没有内部排列！

【答案】B

【例6】

题目：单位工会组织拔河比赛，每支参赛队都由3名男职工和3名女职工组成。假设比赛时要求3名男职工的站位不能全部连在一起，则每支队伍有几种不同的站位方式？

A. 432   B. 504   C. 576   D. 720

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【解题思路】

注：本题虽然是“不相邻”类问题，但要求是“不能全部连在一起”（允许两个连在一起），所以用逆向思维更简单。

用逆向思维：总数 - 3名男全部连在一起的情况

  • 总数：6人全排列 = $A_6^6 = 720$
  • 3男连在一起：捆绑法，$A_4^4 \times A_3^3 = 24 \times 6 = 144$

所求 = $720 - 144 = 576$种

【答案】C

题型三：逆向思维（正难则反）

识别特征：至少有一个、不全是、不都是

核心公式

满足条件数 = 总数 - 不满足条件数

例如：“至少有一个女生” → 总数 - “全是男生”

【例7】

题目：罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子。从中任取3颗棋子，则至少有一颗黑子的情况有多少种？

A. 98种   B. 164种   C. 132种   D. 102种

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【解题思路】

逆向思维：至少有1颗黑子 = 总数 - 全是白子

  • 总数：$C_{12}^3 = \frac{12\times11\times10}{3\times2\times1} = 220$
  • 全是白子：$C_8^3 = \frac{8\times7\times6}{3\times2\times1} = 56$

所求 = $220 - 56 = 164$种

【答案】B

题型四：特殊优先

识别特征：某人/某位置有特殊限制（如“某人不能在第一位”）

【例8】

题目：某自驾游车队由6辆车组成，车队的行车顺序有如下要求：甲车不能排在第一位，乙车必须排在最后一位，丙车必须排在前两位，且任一车辆均不得超车或并行。该车队的行车顺序共有多少种可能？

A. 36种   B. 42种   C. 48种   D. 54种

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【解题思路】

特殊优先，分类讨论：

  • 乙车确定在第6位（1种）
  • 丙车必须在前两位，甲不能在第一位：
    • 丙在第1位：甲可在第2、3、4、5位，则4种×3个剩余位置的全排列 = $4 \times A_3^3 = 4 \times 6 = 24$
    • 丙在第2位：甲可在第3、4、5位，则3种×剩余的全排列 = $3 \times A_3^3 = 3 \times 6 = 18$

总数 = $24 + 18 = 42$种

【答案】B

七、高频易错点与命题陷阱

易错点典型错误正确理解
1. 有序/无序混淆“选2人参加培训”用了排列A两人都参加同一个培训，无序，应用组合C
2. 分类/分步混淆把“直达或中转”的方法数乘在一起直达和中转是两类不同方法，应该加法
3. 捆绑后忘记内部排列“甲乙必须相邻”只捆绑不松绑捆绑后必须考虑内部排列，乘以$A_2^2=2$
4. 插空时遗漏两端4个人形成的空算成了3个n个元素形成n+1个空（包括两端）
5. 同样元素又排列了“同样的红花”又乘了$A_3^3$元素完全相同时，调换顺序还是一样，不需要排列
6. 逆向思维用错场景“恰好有一个”直接用逆向只有1种情况时直接算更快，逆向适合正面复杂的情况

八、小结与刷题建议

核心结论速记

  1. 分类用加法：每类方法都能独立完成任务（多选一）
  2. 分步用乘法：每步都必须完成才能继续（一步一步来）
  3. 有序用排列A：顺序不同算不同（排队、分配不同任务）
  4. 无序用组合C：顺序不同算一样（选人、发东西）
  5. 相邻用捆绑：先捆在一起 → 整体排列 → 内部排列
  6. 不相邻用插空：先排其他 → 找空 → 插入
  7. 正难则反：“至少”“不全是” → 总数 - 反面

刷题建议

阶段建议
基础阶段先严格区分“有序/无序”“分类/分步”，每道题都要清晰说出为什么用A或C
提高阶段重点练习捆绑法、插空法，这是考试最常考的方法
考场策略排列组合只要思路对答案就对，计算量不大，建议优先做

排列组合是逻辑性最强的题型——只要思路对，答案一定对。考场上关键是先判断“有序/无序”“分类/分步”，再看是否有相邻/不相邻/至少等特殊条件，对应选择方法。进阶内容（插板法、错位排列、环形排列等）请见下一节。