本节定位：在掌握概率基础公式后，进阶题型主要涉及条件概率、连续事件（不放回抽取）、多步分类讨论等。这些题型综合性较强，需要将排列组合技巧与概率思维灵活结合。
一、考点概述
1. 进阶概率的特点
进阶概率问题不再是简单的"满足条件数÷总情况数"，而是涉及：
- 条件概率：已知某事件发生的前提下，求另一事件的概率。
- 连续事件：不放回地依次抽取，各步概率相互影响。
- 复杂分类：需要将多种情况的概率分别计算后相加。
- 逆向求解：已知结果反推原因的概率（贝叶斯思想）。
2. 核心公式回顾
- 基本公式：P = 满足条件的情况数 ÷ 总的情况数
- 分步乘法：P = P₁ × P₂ × … × Pₙ（各步骤依次发生）
- 分类加法：P = P₁ + P₂ + … + Pₙ（各情况互斥）
- 逆向计算：P(发生) = 1 − P(不发生)
二、常见设问方式
- 【条件概率】"已知抽到的是不合格产品，求该产品来自某车间的概率"
- 【不放回抽取】"不放回地依次抽取N个，求依次是A、B、C的概率"
- 【复合概率】"两人分别参加抽奖，求他们获得奖品之和不少于X的概率"
- 【错位排列概率】"随机分配后，有且仅有1人返回原单位的概率"
- 【多人同品牌】"随机选择，求两人选到同一品牌的概率"
三、解题思路总览
1. 条件概率的处理
条件概率问题通常采用缩小样本空间的思路：
- 先计算"满足条件"的总情况。
- 在这些情况中，找出同时满足"目标条件"的情况。
- P = 同时满足两个条件的情况 ÷ 满足前提条件的情况。
2. 不放回抽取的处理
不放回抽取时，每一步的分母都在减少：
- 第1次：从N个中选1个
- 第2次：从(N-1)个中选1个
- 第3次：从(N-2)个中选1个
- ……
各步概率相乘得到总概率。
3. 复杂问题的分类讨论
遇到"和不少于X"、"至少有一个"等问题时，先列出所有满足条件的情况，分别计算概率后相加。
四、典型题型拆分与例题精讲
题型一：条件概率（已知结果求原因）
【例1】
甲、乙、丙、丁四个车间生产相同的产品，生产效率之比为4：3：2：1，产品不合格率分别为2%、3%、4%、5%。质检人员从这4个车间某小时内生产的所有产品中随机抽取1件，发现该产品不合格，该产品是乙车间生产的概率为：
A.30% B.40% C.50% D.60%
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解析（条件概率）：
- 设总产量：按效率比4:3:2:1，设甲产40件、乙产30件、丙产20件、丁产10件，共100件。
- 各车间不合格品数量：
- 甲：40 × 2% = 0.8件
- 乙：30 × 3% = 0.9件
- 丙：20 × 4% = 0.8件
- 丁：10 × 5% = 0.5件
- 不合格品总数（满足前提条件）：0.8 + 0.9 + 0.8 + 0.5 = 3件
- 乙车间不合格品占比：0.9 ÷ 3 = 0.3 = 30%
答案：A
题型二：不放回连续抽取
【例2】
一个纸箱里装有大小及材质完全相同的10个小球，其中3个黑色，2个白色，1个红色，2个黄色，1个绿色，1个紫色。如果不放回地依次随机取出3个小球，则取出的小球依次是黑色、红色、白色的概率为：
A.1/120 B.1/240 C.1/250 D.1/500
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解析（分步乘法）：
- 第1次取黑色：3/10（10个球中3个黑色）
- 第2次取红色：1/9（则9个球中1个红色）
- 第3次取白色：2/8（则8个球中2个白色）
- 总概率：P = (3/10) × (1/9) × (2/8) = 6/720 = 1/120
答案：A
【例3】
抽奖箱子里剩下8张奖券，其中5张有奖，3张无奖，小王有两次抽奖机会，他不放回地依次抽取两张奖券，则这两张奖券中一张有奖一张无奖的概率是：
A.15/56 B.25/64 C.15/32 D.15/28
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解析（分类讨论）：
一张有奖一张无奖，有两种情况（注意顺序）：
- 先有奖后无奖：(5/8) × (3/7) = 15/56
- 先无奖后有奖：(3/8) × (5/7) = 15/56
总概率 = 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28
答案：D
题型三：复合概率（多人抽奖）
【例4】
某商场抽奖，箱中有5个大小相同的乒乓球，3白2红。摸出两球：都是白色得100元，一白一红得200元，都是红色得400元。小李和小林两人分别参加抽奖，求两人获得抵用券之和不少于600元的概率。
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解析：
- 先求各奖项概率：
- 100元（两白）：C(3,2)/C(5,2) = 3/10 = 0.3
- 200元（一白一红）：C(3,1)×C(2,1)/C(5,2) = 6/10 = 0.6
- 400元（两红）：C(2,2)/C(5,2) = 1/10 = 0.1
- 两人之和不少于600的情况：
- 200 + 400 = 600：0.6 × 0.1 = 0.06
- 400 + 200 = 600：0.1 × 0.6 = 0.06
- 400 + 400 = 800：0.1 × 0.1 = 0.01
- 总概率 = 0.06 + 0.06 + 0.01 = 0.13
答案：0.13
题型四：同品牌/同类型概率
【例5】
甲乙两人相约骑共享单车运动健身。停车点现有9辆单车，分属3个品牌，各有2、3、4辆。假如两人选择每一辆单车的概率相同，两人选到同一品牌单车的概率为：
A.1/6 B.2/9 C.5/18 D.1/3
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解析（分类讨论）：
- 总情况数：甲选9辆中任一辆，乙选剩余8辆中任一辆（分步），共9×8=72种。
- 同品牌情况：
- 品牌A（2辆）：甲选A，乙选另一辆A = 2×1 = 2种
- 品牌B（3辆）：甲选B，乙选另一辆B = 3×2 = 6种
- 品牌C（4辆）：甲选C，乙选另一辆C = 4×3 = 12种
- 满足条件数 = 2 + 6 + 12 = 20
- 概率 = 20/72 = 5/18
答案：C
题型五：错位排列与概率
【例6】
某集团企业5个分公司分别派出1人去集团总部参加培训，培训后再将5人随机分配到这5个分公司，每个分公司只分配1人。问5个参加培训的人中，有且仅有1人在培训后返回原分公司的概率：
A.低于20% B.在20%~30%之间 C.在30%~35%之间 D.大于35%
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解析（错位排列）：
- 总情况数：5人全排列 = A(5,5) = 120
- 有且仅有1人返回原公司：
- 先选哪1人返回原公司：C(5,1) = 5种
- 剩余4人全部错位（都不回原公司）：D₄ = 9种
- 满足条件数 = 5 × 9 = 45
- 概率 = 45/120 = 37.5%
答案：D
补充：错位排列数 D₁=0, D₂=1, D₃=2, D₄=9, D₅=44, D₆=265。
五、高频易错点与命题陷阱
| 易错点 | 错误表现 | 正确应对 |
|---|---|---|
| 不放回问题分母不变 | 第2次抽取仍用原来的分母 | 不放回时，每次抽取后分母减1。 |
| 条件概率分母错误 | 用全部情况做分母 | 条件概率的分母是"满足前提条件的情况数"，不是总情况数。 |
| 顺序问题漏情况 | "一有一无"只算一种 | "先有后无"和"先无后有"是两种不同情况，需分别计算后相加。 |
| 错位排列数记错 | D₄记成4或24 | 牢记：D₁=0, D₂=1, D₃=2, D₄=9, D₅=44。 |
| 同品牌问题重复计数 | 用C(n,2)而非n×(n-1) | 甲乙是有顺序的（甲先选乙后选），应用排列而非组合。 |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 条件概率：缩小样本空间，分母是满足前提条件的情况数。
- 不放回抽取：每步分母递减，各步概率相乘。
- 复合概率：列出所有满足条件的情况，分别计算后相加。
- 错位排列：D₄=9, D₅=44，用于"恰好N人不回原位"问题。
- 同品牌问题：分类计算各品牌的情况数，注意是排列还是组合。
刷题建议
- 前提：先掌握概率基础（6.5节），再进入进阶内容。
- 重点题型：不放回抽取、条件概率各做5道以上。
- 错位排列：牢记D₁~D₅的值，此类题一旦出现往往是送分题。
- 推荐真题：2021四川、2020广东、2019吉林、2019黑龙江、2017国考。