本节定位：概率问题是排列组合的延伸应用，核心公式只有一个："满足条件的情况数 ÷ 总的情况数"。掌握好排列组合基础后，概率问题将变得非常简单，是行测考试中较容易拿分的模块。

一、考点概述

1. 什么是概率？

概率是指某种情况发生的可能性，一般用0~1之间的实数（或百分数）表示。概率问题本质上就是排列组合的比值计算。

2. 核心公式

P = 满足条件的情况数 ÷ 总的情况数

从公式可以看出，排列组合是概率的基础——分子分母都是在求情况数。

3. 概率计算的三种类型

  • 基本概率：直接套用公式 P = 满足条件数 ÷ 总情况数。
  • 分步乘法型：完成一件事需多个步骤，分步概率 = 各步骤概率之积。
  • 分类加法型：完成一件事有多种互斥方式，总概率 = 各情况概率之和。
  • 逆向计算型：某事件概率 = 1 − 该事件不发生的概率。

二、常见设问方式

  • 【基础求概率】"从N个中随机抽取M个，求……的概率"
  • 【同组/同排】"随机分组/入座，求两人在同一组/同一排的概率"
  • 【三局两胜】"甲每局胜率为X%，三局两胜制，求甲获胜概率"
  • 【连续事件】"不放回地依次抽取，求……的概率"
  • 【逆向求解】"至少有一个……的概率"（用1减去"都没有"的概率）
  • 【几何概型】"随机落在某区域，求落在指定区域的概率"（面积/长度比）

三、解题思路总览

1. 给情况求概率（最常见）

  1. 明确"总情况数"：从哪些元素中选/排多少个。
  2. 明确"满足条件数"：符合题目要求的情况有多少。
  3. 套公式 P = 满足条件数 ÷ 总情况数。

2. 分步/分类概率

  • 分步（且）：P = P₁ × P₂ × … × Pₙ（各步骤独立完成）
  • 分类（或）：P = P₁ + P₂ + … + Pₙ（各情况互斥）

3. 逆向思维

当正面情况复杂时，考虑：P(发生) = 1 − P(不发生)

4. "跟屁虫"技巧（同组/相邻问题）

两人分在同一组/坐在一起的概率：让第一个人随便选，只考虑第二个人相对第一个人的位置。

四、典型题型拆分与例题精讲

题型一：基本概率（直接套公式）

【例1】

某公司将在本周一至周日连续七天举办联谊会，某员工随机地选择其中的连续两天参加联谊会，那么他在周五至周日期间连续两天参加联谊会的概率为：
A.1/2　　B.1/3　　C.1/4　　D.1/6
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解析：

  1. 总情况数：连续两天可选（周一周二、周二周三、…、周六周日）= 6种。
  2. 满足条件：周五至周日期间连续两天 = 周五周六、周六周日 = 2种。
  3. P = 2/6 = 1/3。

答案：B

【例2】

小王从编号分别为1、2、3、4、5的5本书中随机抽出3本，那么这3本书的编号恰好为相邻三个整数的概率为：
A.1/2　　B.2/5　　C.3/10　　D.3/5
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解析：

  1. 总情况数：从5本选3本 = C(5,3) = 10。
  2. 满足条件：相邻三个整数 = (1,2,3)、(2,3,4)、(3,4,5) = 3种。
  3. P = 3/10。

答案：C

题型二：同组/同排问题（跟屁虫技巧）

【例3】

某单位工会组织桥牌比赛，共有8人报名，随机组成4队，每队2人。那么，小王和小李恰好被分在同一队的概率是（　）。
A.1/7　　B.1/14　　C.1/21　　D.1/28
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解析（跟屁虫技巧）：

  1. 让小王先选位置，8个位置随便选（概率=1）。
  2. 小王选定后，还则7个位置。小李要和小王同队，只能选小王这队的另一个空位（即旁边那1个位置）。
  3. P = 1/7。

答案：A

【例4】

某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：
A.不高于15%　　B.高于15%但低于20%　　C.正好为20%　　D.高于20%
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解析（跟屁虫技巧）：

  1. 每排有 40÷5 = 8 个座位。
  2. 小张先选，40个位置随便坐。
  3. 小张坐定后，还则39个位置。小李要和小张同排，只能选同排剩余的7个位置。
  4. P = 7/39。估算：7/39 略小于 7/35(20%)，且 7/39 = 17.9% > 15%。

答案：B

题型三：三局两胜制（分类加法）

【例5】

某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有80%的概率赢乙选手，那么这场单打比赛甲有多大的概率战胜乙选手？
A.0.768　　B.0.800　　C.0.896　　D.0.924
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解析（分类讨论）：

甲获胜的情况有三种：

  1. 前两局都赢（WW）：0.8 × 0.8 = 0.64
  2. 第一局赢、第二局输、第三局赢（WLW）：0.8 × 0.2 × 0.8 = 0.128
  3. 第一局输、后两局赢（LWW）：0.2 × 0.8 × 0.8 = 0.128

总概率 = 0.64 + 0.128 + 0.128 = 0.896

答案：C

秒杀技巧：甲每局胜率80%，三局两胜比单局更能体现实力（强者恒强），所以甲获胜概率一定大于80%，排除A、B。

题型四：逆向计算（至少问题）

【例6】

小明有2盆兰花和3盆杠鹃，小明打算随机拿出2盆送给小红，则至少有一盆兰花的概率是（　）
A.1/10　　B.3/10　　C.5/10　　D.7/10
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解析（逆向思维）：

  1. 总情况数：从5盆选2盆 = C(5,2) = 10。
  2. "至少有一盆兰花"的反面：没有兰花（都是杠鹃）= C(3,2) = 3。
  3. P = 1 − 3/10 = 7/10。

答案：D

题型五：几何概型（面积/长度比）

【例7】

小波将米粒投进圆圈内，投掷位置随机。如果米粒到圆心距离大于半径的一半，去看电影；若距离小于半径的1/4，去打篮球；否则在家看书。求周末不在家看书的概率。
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解析：

  1. 设半径为R，则圆面积 = πR²。
  2. 打篮球区域（半径R/4的圆）：面积 = π(R/4)² = πR²/16。
  3. 看电影区域（外环，半径从R/2到R）：面积 = πR² − π(R/2)² = 3πR²/4。
  4. 不看书区域（打篮球+看电影）：πR²/16 + 12πR²/16 = 13πR²/16。
  5. 不看书概率 = (13πR²/16) / πR² = 13/16。

答案：13/16

五、高频易错点与命题陷阱

易错点 错误表现 正确应对
排列组合基础不牢 分子分母的情况数算错 概率的本质是排列组合的比值，先打好排列组合基础。
分步/分类混淆 该乘的时候加，该加的时候乘 分步（且）用乘法，分类（或）用加法。
三局两胜漏情况 只算"两局赢"，忘了"先输后赢"的情况 三局两胜有三种情况：赢赢X、赢输赢、输赢赢。
"至少"问题正面硬算 "至少有一个"分类太多，容易遗漏 用逆向思维：P(至少1个) = 1 − P(一个都没有)。
同组问题复杂化 用排列组合硬算分组情况数 用"跟屁虫技巧"：第一个人随便选，只考虑第二个人的相对位置。

六、小结与刷题建议

核心要点回顾

  • 核心公式：P = 满足条件的情况数 ÷ 总的情况数。
  • 分步用乘法：各步骤概率相乘。
  • 分类用加法：各情况概率相加。
  • 逆向思维：P(发生) = 1 − P(不发生)，适用于"至少"问题。
  • 跟屁虫技巧：同组/同排问题，第一人随便选，只看第二人的相对位置。

刷题建议

  • 前提：概率建立在排列组合基础上，先确保排列组合掌握牢固。
  • 基础练习：先做"直接套公式"类型题5-10道。
  • 重点突破：三局两胜制、同组问题、逆向求解各做3-5道。
  • 推荐真题：2018贵州、2018联考、2018国考、2015贵州、2019吉林。