行程问题进阶

【解题思路】

1. 设原速度$v$，原时间$t$，距离$s=vt$。
2. 情况一：提速20%即$1.2v$，时间变为$\frac{t}{1.2}$。$t - \frac{t}{1.2} = 0.25$小时（15分钟）→ 解得$t=1.5$小时。
3. 情况二：原速行30km后提速25%（即$1.25v$），总时间同样提前0.25小时，即总耗时1.25小时。
4. 列方程：$\frac{30}{v} + \frac{1.5v-30}{1.25v} = 1.25$ → 解得 $v=120$千米/小时。
5. 距离$s = 1.5 \times 120 = 180$千米。

【答案】C

【解题思路】

1. 设路程为60（最小公倍数），则无风速度：甲=5，乙=4。
2. 逆风时：甲速度=5×0.6=3，乙速度=4×0.9=3.6。
3. 设无风行驶时间为$t$，逆风时间为$x$。
4. 列方程：甲路程 $5t + 3x = 60$；乙路程 $4t + 3.6x = 60$。
5. 两式相减：$(5-4)t + (3-3.6)x = 0$ → $t = 0.6x$。
6. 代入原式：$5(0.6x) + 3x = 60$ → $6x = 60$ → $x = 10$小时。

【答案】A

【解题思路】

1. 两端出发，第N次相遇两人共走 $(2N-1) \times 30$ 米。
2. 速度和 = 37.5 + 52.5 = 90 米/分。
3. 1分50秒 = 110秒 = 11/6 分钟。总路程 = 90 × 11/6 = 165米。
4. 第N次相遇：$(2N-1) \times 30 \leq 165$ → $2N-1 \leq 5.5$ → $2N \leq 6.5$ → $N \leq 3.25$。
5. 所以最多相遇3次。

【答案】B

【解题思路】

1. 甲速度 = 100/72 米/秒，乙速度 = 100/60 = 5/3 米/秒。
2. 速度和 = 100/72 + 120/72 = 220/72 = 55/18 米/秒。
3. 12分钟 = 720秒，两人共走总路程 = $\frac{55}{18} \times 720 = 2200$ 米。
4. 两端出发第N次相遇公式：$(2N-1) \times 100 \leq 2200$。
5. 解得 $2N-1 \leq 22$ → $2N \leq 23$ → $N \leq 11.5$。即相遇11次。

【答案】C

【解题思路】

本质是追及问题：把钟表想象成环形跑道，分针追时针。

• 24小时内：分针转24圈，时针转2圈。
• 分针比时针多跑22圈 → 追上22次 → 重合22次。
• 每次重合前后各有一次垂直（一次落后90°，一次领先90°）。
• 垂直次数 = 22 × 2 = 44次。

【答案】C

【解题思路】

1. 6点整时，时针在分针前面180°。
2. 出门时夹角110°：分针追了一部分，时针仍领先110°（分针此时还没追上时针）。
3. 回家时夹角110°：分针已经超过时针，分针领先110°。
4. 路程差分析：分针从“落后110°”跑到“领先110°”，相对时针多转了 $110 + 110 = 220^\circ$。
5. 时间 = $\frac{路程差}{速度差} = \frac{220^\circ}{5.5^\circ/\text{min}} = 40$ 分钟。

【答案】C

【解题思路】

1. 两人相向而行，从200米走到60米，共缩短距离 140米。
2. 速度和 = 1+1 = 2米/秒 → 运动时间 = 140 ÷ 2 = 70秒。
3. 狗跑的距离 = 狗的速度 × 时间 = 3 × 70 = 210米。

【答案】C

【解题思路】

1. 分析出租车行程：
   • 出租车往返全程需1小时40分（100分钟），单程需50分钟。
   • 出租车9:00出发，10:20回到乙地，共行驶80分钟。说明出租车去接人用了40分钟，回来用了40分钟。
   • 相遇时间为 9:00 + 40分 = 9:40。
2. 分析位置与距离：
   • 出租车单程50分钟，这次去接人只开了40分钟。说明相遇点距离甲地还有“出租车10分钟的车程”。
3. 分析小明行程：
   • 小明从8:00走到9:40（相遇），走了100分钟。
   • 这段路程（从甲地到相遇点），就是上面分析的“出租车10分钟的车程”。
4. 得出结论：
   • 同样的路程，小明走100分钟，出租车开10分钟。
   • 速度比 = 时间的反比 = 100 : 10 = 10 : 1。

【答案】D