本节定位：本篇讲解分数比较的进阶方法：直除法、倍数判断法（交叉相乘）、转化法（互补法）、拆分法和增长率法，以及多个分数排序的快速策略。掌握多种方法可以灵活应对不同场景。

一、直除法

1. 适用条件

任意分数比较，是最通用的方法。

2. 操作方法

  1. 计算首位商：A/B = X₁...，C/D = X₂...
  2. 若首位 X₁ > X₂，则 A/B > C/D
  3. 若首位相同，则计算第二位

3. 技巧

  • 结合截位直除，保留2-3位有效数字计算
  • 首位不同即可判断，无需精确计算

二、倍数判断法（交叉相乘）

1. 适用条件

两个分数接近时，通过比较倍数关系判断大小。

2. 操作方法

比较 A/B 与 C/D 的大小，可以比较 A/C 与 B/D 的大小：

  • 若 A/C > B/D（分子的倍数大于分母的倍数），则 A/B > C/D
  • 若 A/C < B/D（分子的倍数小于分母的倍数），则 A/B < C/D

3. 原理

交叉相乘：比较 A/B 与 C/D ⟺ 比较 A×D 与 B×C

  • 若 A×D > B×C，则 A/B > C/D
  • 若 A×D < B×C，则 A/B < C/D

三、转化法（互补法）

1. 适用条件

分数接近1时（分子与分母相差不大）。

2. 操作方法

当 A/B ≈ 1 时，比较"补值"（即 1 − 分数）：

  • 补值 = (B−A)/B
  • 补值越大，原分数越小（离1越远）
  • 补值越小，原分数越大（离1越近）

3. 示例

比较 283/297 与 274/287
补值1 = (297−283)/297 = 14/297 ≈ 0.047
补值2 = (287−274)/287 = 13/287 ≈ 0.045
0.047 > 0.045 → 283/297 的补值更大 → 283/297 < 274/287

四、拆分法

1. 适用条件

分子分母差距较大，可以通过减法简化比较。

2. 操作规则

  • 当分母 > 分子：两个分数的分母同时减去各自的分子，不改变大小关系
  • 当分子 > 分母：两个分数的分子同时减去各自的分母，不改变大小关系

3. 原理

不管减的是分子还是分母，都是用简化后的分数代替原来的分数去比较。

4. 示例

比较 214/316 与 225/330
两个分数分母都大于分子，分母同时减去分子：
214/(316−214) = 214/102
225/(330−225) = 225/105
214/102 ≈ 2.1，225/105 ≈ 2.1（需进一步比较）
或用差分法：214/102 约为80多，225/105 约为120多，所以前者小

五、增长率法

1. 适用条件

两个分数分子分母同向变化时，可以通过比较"增长率"判断大小。

2. 操作方法

假设存在两个分数 A/B 和 C/D（C > A，D > B），比较分子增长率与分母增长率：

  • 分子增长率 = (C−A)/A
  • 分母增长率 = (D−B)/B

3. 判定规则

  • 若 分子增长率 > 分母增长率，则 A/B < C/D（后者更大）
  • 若 分子增长率 < 分母增长率，则 A/B > C/D（前者更大）
  • 若 分子增长率 = 分母增长率，则两个分数相等

4. 理解技巧

把分数看作比重，分子看作部分，分母看作整体：

  • 当分子的增速大于分母的增速时，比重上升，即后一个分数更大
  • 当分子的增速小于分母的增速时，比重下降，即前一个分数更大

六、多个分数排序策略

1. 先排除再比较

先用直接观察法排除明显大或小的选项。

2. 分组比较

将分数分成若干组，组内比较后再跨组比较。

3. 竖向比较与横向比较

  • 竖向比较：同一指标不同时期的分数比较（如比较各年的增长率）
  • 横向比较：同一时期不同指标的分数比较（如比较各地区的比重）

七、方法选择总结

情况 推荐方法
分子大分母小（或反之） 直接观察法
分子分母同向变化 差分法 / 增长率法
分数接近1 互补法（转化法）
分子分母差距大 拆分法
存在明显倍数关系 化同法 / 倍数判断法
以上方法均不便 直除法（万能方法）

八、实战演练

【例1】直除法

比较 1649/2387 与 1731/2516 的大小
A. 1649/2387 大　　B. 1731/2516 大　　C. 相等　　D. 无法判断
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解析：

  1. 直除计算首位商：
    • 1649/2387 ≈ 165/239 ≈ 0.69
    • 1731/2516 ≈ 173/252 ≈ 0.68
  2. 比较：0.69 > 0.68
  3. 结论：1649/2387 > 1731/2516

答案：A

【例2】互补法

比较 283/297 与 274/287 的大小
A. 283/297 大　　B. 274/287 大　　C. 相等　　D. 无法判断
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解析：

  1. 判断：两个分数都接近1，使用互补法
  2. 计算补值：
    • 283/297 的补值 = (297−283)/297 = 14/297 ≈ 0.047
    • 274/287 的补值 = (287−274)/287 = 13/287 ≈ 0.045
  3. 判定：0.047 > 0.045，补值大的分数更小
  4. 结论：283/297 < 274/287

答案：B

【例3】增长率法

比较 214/102 与 225/105 的大小
A. 214/102 大　　B. 225/105 大　　C. 相等　　D. 无法判断
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解析：

  1. 判断同向变化：225 > 214，105 > 102 → 适用增长率法
  2. 计算增长率：
    • 分子增长率 = (225−214)/214 = 11/214 ≈ 5%
    • 分母增长率 = (105−102)/102 = 3/102 ≈ 3%
  3. 判定：分子增长率 5% > 分母增长率 3%
  4. 结论：后一个分数更大，即 214/102 < 225/105

答案：B

【例4】交叉相乘

比较 156/243 与 148/231 的大小
A. 156/243 大　　B. 148/231 大　　C. 相等　　D. 无法判断
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解析：

  1. 交叉相乘：
    • 156 × 231 = 36036
    • 148 × 243 = 35964
  2. 比较：36036 > 35964
  3. 结论：156/243 > 148/231

答案：A

【例5】多分数排序

将以下四个分数从大到小排序：
① 228/121　② 292/128　③ 187/98　④ 156/85

A. ①>②>③>④　　B. ②>④>③>①　　C. ②>①>③>④　　D. ③>②>①>④
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解析：

  1. 先估算各分数大小：
    • ① 228/121 ≈ 1.88
    • ② 292/128 ≈ 2.28
    • ③ 187/98 ≈ 1.91
    • ④ 156/85 ≈ 1.84
  2. 排序：② > ③ > ① > ④（即 2.28 > 1.91 > 1.88 > 1.84）
  3. 验证①③：用差分法，228/121与187/98，187>228不成立，用直除
  4. ③ 187/98 ≈ 1.908，① 228/121 ≈ 1.884，③ > ①

答案：B