本节定位：化除为乘是一种将复杂除法转化为简单乘法的速算技巧。当增长率较小时（|r| < 5%），基期量 = 现期量/(1+r) ≈ 现期量 × (1-r)，可大幅简化计算。要注意增长率范围和选项差距要求，增长率过大时不宜使用。
一、技巧原理
化除为乘是一种将复杂除法转化为简单乘法的速算技巧。在计算基期量时，标准公式需要做除法，但当增长率较小时，可以用乘法近似代替，大幅简化计算。
核心公式
基期量 = 现期量/(1+r) ≈ 现期量 × (1-r)
当增长率为负时：基期量 = 现期量/(1-r) ≈ 现期量 × (1+r)
公式推导
数学原理：1/(1+r) = (1-r)/(1-r²) ≈ 1-r（当r较小时，r²可忽略）
因此：A/(1+r) ≈ A × (1-r)
二、适用条件
增长率要求
| 增长率范围 | 误差水平 | 使用建议 |
|---|---|---|
| |r| < 5% | 误差 < 0.3% | 推荐使用，精度很高 |
| 5% ≤ |r| < 8% | 误差约0.3%-0.6% | 可以使用，需看选项差距 |
| 8% ≤ |r| < 10% | 误差约0.6%-1% | 选项差距 > 2%时可用 |
| |r| ≥ 10% | 误差 > 1% | 不建议使用，误差较大 |
选项差距要求
- 选项相对差距 > 2%：可以放心使用化除为乘
- 选项相对差距 < 1%：建议使用截位直除，确保精度
三、操作步骤
- 判断增长率：确认|r| < 10%（最好 < 5%）
- 观察选项差距：确认选项差距足够大
- 应用公式：基期 ≈ 现期 × (1-r) 或 现期 × (1+|r|)（下降时）
- 计算乘法：利用拆分法计算乘法结果
四、经典例题
【例1】（基础应用）
2023年某市社会消费品零售总额为4850亿元，同比增长3.2%。则2022年该市社会消费品零售总额约为多少亿元？
A.4600 B.4700 C.4850 D.5000
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解析：
- 判断条件：增长率3.2% < 5%，适合化除为乘
- 应用公式：基期 ≈ 4850 × (1-3.2%) = 4850 × 0.968
- 拆分计算：
- 4850 × 3.2% = 4850 × 3% + 4850 × 0.2%
- 4850 × 3% = 145.5
- 4850 × 0.2% ≈ 10
- 4850 × 3.2% ≈ 155
- 结果：4850 - 155 = 4695 ≈ 4700
答案：B
【例2】（负增长率）
2022年某地区进出口总额为6200亿美元，同比下降4.5%。则2021年该地区进出口总额约为多少亿美元？
A.6200 B.6300 C.6500 D.6700
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解析：
- 判断条件：下降率4.5% < 5%，适合化除为乘
- 应用公式：基期 ≈ 6200 × (1+4.5%) = 6200 × 1.045
- 拆分计算：
- 6200 × 4.5% = 6200 × 4% + 6200 × 0.5%
- 6200 × 4% = 248
- 6200 × 0.5% = 31
- 6200 × 4.5% ≈ 279
- 结果：6200 + 279 = 6479 ≈ 6500
答案：C
【例3】（与截位直除对比）
2023年某省GDP为52800亿元，同比增长4.8%。则2022年该省GDP约为多少亿元？
A.49500 B.50300 C.51200 D.51800
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常规解法（截位直除）：
- 基期 = 52800/(1+4.8%) = 52800/1.048
- 截位：528/1.05 ≈ 503
- 结果：约50300亿元
秒杀解法（化除为乘）：
- 基期 ≈ 52800 × (1-4.8%) = 52800 × 0.952
- 52800 × 4.8% = 52800 × 5% - 52800 × 0.2%
- 52800 × 5% = 2640，52800 × 0.2% ≈ 106
- 52800 × 4.8% ≈ 2534
- 结果：52800 - 2534 = 50266 ≈ 50300
答案：B
五、误差修正
当需要更高精度时，可以使用修正公式：
精确公式：A/(1+r) = A × (1 - r + r²/(1+r))
其中 r²/(1+r) 为修正项，通常约等于 r² × (1-r) ≈ r²
修正方法
- 当r = 5%时，修正项 ≈ 0.25%，可加回约0.25%
- 当r = 8%时，修正项 ≈ 0.64%，可加回约0.6%
- 当r = 10%时，修正项 ≈ 1%，需加回约1%
【例4】（误差修正）
2023年某企业营业收入为8400万元，同比增长8.5%。则2022年该企业营业收入约为多少万元？
A.7680 B.7742 C.7800 D.7860
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解析：
- 化除为乘：基期 ≈ 8400 × (1-8.5%) = 8400 × 0.915
- 计算：
- 8400 × 8.5% = 8400 × 8% + 8400 × 0.5% = 672 + 42 = 714
- 8400 - 714 = 7686
- 误差修正：r=8.5%时，修正项约为0.72%
- 7686 × 0.72% ≈ 55
- 修正后：7686 + 55 ≈ 7741
答案：B
六、使用禁忌
- 增长率过大：|r| > 25%时，误差超限，必须用截位直除
- 选项差距过小：选项差距 < 1%时，需要精确计算
- 精确排名比较：需要比较多个数的大小排序时，不宜使用近似
七、实战演练
【练习1】
2023年某市固定资产投资额为3680亿元，同比增长2.8%。则2022年该市固定资产投资额约为多少亿元？
A.3500 B.3580 C.3650 D.3780
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解析：
- r=2.8% < 5%，适合化除为乘
- 基期 ≈ 3680 × (1-2.8%) = 3680 × 0.972
- 3680 × 2.8% = 3680 × 3% - 3680 × 0.2% ≈ 110 - 7 = 103
- 结果：3680 - 103 = 3577 ≈ 3580
答案：B
【练习2】
2022年某地区工业增加值为4200亿元，同比下降3.6%。则2021年该地区工业增加值约为多少亿元？
A.4050 B.4200 C.4357 D.4500
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解析：
- 下降3.6% < 5%，适合化除为乘
- 基期 ≈ 4200 × (1+3.6%) = 4200 × 1.036
- 4200 × 3.6% = 4200 × 4% - 4200 × 0.4% = 168 - 17 = 151
- 结果：4200 + 151 = 4351 ≈ 4357
答案：C
【练习3】
2023年某省农业产值为2850亿元，同比增长6.2%。则2022年该省农业产值约为多少亿元？
A.2580 B.2650 C.2684 D.2750
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解析：
- r=6.2%，在5%-8%之间，可以使用但需注意精度
- 基期 ≈ 2850 × (1-6.2%) = 2850 × 0.938
- 2850 × 6.2% = 2850 × 6% + 2850 × 0.2% = 171 + 6 = 177
- 结果：2850 - 177 = 2673
- 考虑误差修正（约+0.4%）：2673 + 11 ≈ 2684
答案：C