本节定位：数量关系的基础理论模块，涵盖公考数学运算中最常用的数字性质与判定方法。掌握这些基础知识，是快速解题的前提。

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本章将系统讲解公考数量关系中必须掌握的7大数字基础知识：

1.2 倍数与整除 - 整除判定、倍数特征
1.3 余数与同余 - 余数运算、中国剩余定理
1.4 奇偶性与符号判断 - 奇偶运算规律、符号判断
1.5 质数、合数与因数分解 - 质数性质、约数公式
1.6 最大公约数与最小公倍数 - 公倍数求解、周期问题
1.7 幂次与尾数规律 - 幂次循环规律、尾数速算
1.8 平方数与勾股数 - 平方数特征、勾股定理应用

一、为什么要学数字基础？

1. 数字基础在公考中的地位

数字基础知识是数量关系模块的底层逻辑，几乎所有题型都会用到：

题型	常用数字基础	示例
不定方程	奇偶性、整除性	判断未知数的奇偶性缩小范围
工程问题	最小公倍数	设工作总量为时间的最小公倍数
经济利润	函数最值	利润最大化的二次函数求解
排列组合	质数合数	质因数分解求约数个数
几何问题	勾股数、平方数	快速识别直角三角形边长关系
周期问题	最小公倍数、余数	求多个周期的重合时间

2. 数字基础的学习策略

先理解性质，再记忆规律：不要死记硬背，理解背后的数学原理
结合例题练习：每个知识点都配有典型例题，边学边练
建立知识关联：很多性质是相互关联的（如整除与余数、质数与约数）
注重速算技巧：公考时间紧张，掌握口诀和快速判定法很重要

二、数字基础知识体系

1.2 倍数与整除概览

核心概念

整除：若 $a = b \times c$（$b, c$ 为整数），则 $a$ 能被 $b$ 或 $c$ 整除
倍数：$a$ 是 $b$ 的倍数 $\Leftrightarrow$ $a$ 能被 $b$ 整除

常用整除判定法则

被除数	判定方法	示例
2, 5	看末位数字	1234末位4能被2整除
4, 25	看末两位数字	3712末两位12能被4整除
8, 125	看末三位数字	24000末三位000能被8整除
3, 9	看各位数字之和	117各位和9能被3和9整除
7	截尾法：剩余数 - 2 × 个位	133 → 13 - 6 = 7 能被7整除
11	奇位和 - 偶位和	121 → (1+1) - 2 = 0 能被11整除
7, 11, 13	三位分割法（大数推荐）	末三位与末三位以前的数之差，能被7/11/13整除

三大应用场景

整除型：题干含"倍数"、"平均"、"每"等关键词
余数型：总量 $= ax + b$，则（总量 $- b$）能被 $a$ 整除
比例型：若 $a:b = m:n$（$m, n$ 互质），则 $a$ 是 $m$ 的倍数

1.3 余数与同余概览

核心概念

余数：$a = mq + r$（$0 \leq r < m$），$r$ 为余数
同余：若 $a$ 和 $b$ 除以 $m$ 余数相同，记作 $a \equiv b \pmod{m}$

余数运算性质

加法：$(a + b) \bmod m = [ (a \bmod m) + (b \bmod m) ] \bmod m$
减法：$(a - b) \bmod m = [ (a \bmod m) - (b \bmod m) ] \bmod m$
乘法：$(a \times b) \bmod m = [ (a \bmod m) \times (b \bmod m) ] \bmod m$

解题口诀（中国剩余定理简化）

差同减差：余数相差相同，减去差值后能整除
和同加和：余数之和相同，加上和值后能整除
余同加余：余数相同，加上余数后能整除（注：通常表述为通项公式 $S = \text{lcm} \times k + r$）

典型应用

分组余数问题（"每3人一组余2人"）
中国剩余定理（多个余数条件求解）
循环周期问题

1.4 奇偶性与符号判断概览

核心运算规律

加减运算：

同奇同偶 → 和为偶，差为偶
一奇一偶 → 和为奇，差为奇

乘法运算：

有偶则偶，全奇才奇

核心推论：

和差同性：两数和与差的奇偶性相同
奇偶传递：和/差为奇 → 两数必一奇一偶；和/差为偶 → 两数必同奇同偶

典型应用场景

不定方程求解：通过奇偶性排除选项
知和求差问题：利用和差同性快速判断
质数综合题：偶质数唯一性（2是唯一偶质数）

1.5 质数、合数与因数分解概览

基本定义

质数（素数）：大于1且只能被1和自身整除的数（最小质数是2）
合数：大于1且除了1和自身还有其他因数的数（最小合数是4）
特殊规定：1既不是质数也不是合数

100以内质数（25个）

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

核心公式

质因数分解：$n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \cdots \times p_k^{\alpha_k}$

约数个数公式：$d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \cdots (\alpha_k + 1)$

约数和公式：$\sigma(n) = (1 + p_1 + \cdots + p_1^{\alpha_1}) \times \cdots \times (1 + p_k + \cdots + p_k^{\alpha_k})$

关键性质

除2和5外，质数个位只能是1、3、7、9
2是唯一的偶质数
多个质数和为偶数 → 必含质数2

1.6 最大公约数与最小公倍数概览

核心概念

最大公约数：一组数所有公约数中最大的正整数，记作 $(a, b)$
最小公倍数：一组数所有公倍数中最小的正整数，记作 $[a, b]$
核心关系：$a \times b = (a, b) \times [a, b]$

三种求解方法

1. 分解质因数法：$[a, b] = p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)} \times p_2^{\max(\alpha_2,\beta_2)} \times \cdots$

2. 短除法：适合多个数求最小公倍数

3. 扩倍法：将较大数依次扩倍，直到成为较小数的倍数

特殊性质

倍数关系：若大数是小数的倍数，则 $[a, b] = $ 较大数
互质关系：若两数互质，则 $[a, b] = a \times b$

1.7 幂次与尾数规律概览

尾数循环规律

末尾数	循环周期	尾数变化序列
0, 1, 5, 6	1	尾数始终不变
2, 3, 7, 8	4	2: 2→4→8→6；3: 3→9→7→1；7: 7→9→3→1；8: 8→4→2→6
4, 9	2	4: 4→6；9: 9→1

尾数法核心步骤

确定底数的末尾数字 d
计算指数 n 除以循环周期 T 的余数 r
若余数 r=0，取循环末尾数；否则取第 r 个循环数

1.8 平方数勾股数概览

平方数性质

尾数特征：平方数末位只能是 0、1、4、5、6、9
奇偶性：奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数

勾股定理与勾股数

勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$（直角三角形）
勾股数：满足勾股定理的三个正整数

常见勾股数组合

基础组	2倍	3倍	特点
(3, 4, 5)	(6, 8, 10)	(9, 12, 15)	连续整数
(5, 12, 13)	(10, 24, 26)	(15, 36, 39)	大边连续
(8, 15, 17)	(16, 30, 34)	-	偶数开头
(7, 24, 25)	(14, 48, 50)	-	大边连续

三、数字基础的综合应用

1. 不定方程问题

例题：租用甲教室（容50人/次）和乙教室（容45人/次）培训27次，共培训1290人。求甲教室使用次数？

解题思路：

设甲用 x 次，乙用 y 次
列方程：$x + y = 27$（奇），$50x + 45y = 1290$（偶）
奇偶性分析：$50x$ 为偶，$1290$ 为偶 → $45y$ 必为偶 → $y$ 为偶
由 $x + y = \text{奇}$ 且 $y$ 为偶 → $x$ 为奇
选项中仅有奇数的即为答案

2. 周期相遇问题

例题：甲、乙、丙、丁四人分别每6天、12天、18天、30天去一次图书馆。若某日四人相遇，问下一次相遇至少需多少天？

解题思路：

求最小公倍数：$[6, 12, 18, 30]$
分解质因数：$6=2 \times 3$，$12=2^2 \times 3$，$18=2 \times 3^2$，$30=2 \times 3 \times 5$
取最高次幂：$2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$

3. 质数乘积问题

例题：三个质数的和为80，求它们乘积的最大值。

解题思路：

奇偶性分析：三个奇数和为奇数，但80为偶数 → 必含偶质数2
设三个质数为 2, p, q，则 $p + q = 78$
乘积最大化：两数和一定时，两数越接近乘积越大
找最接近的质数对：$p=37, q=41$
乘积：$2 \times 37 \times 41 = 3034$

四、学习建议与刷题策略

1. 学习顺序建议

第一阶段（基础必学）：奇偶性、倍数整除、余数与同余

第二阶段（进阶提升）：质数合数、最小公倍数、幂次尾数

第三阶段（拔高冲刺）：平方数勾股数

2. 刷题策略

基础巩固期：每个知识点做10-15道基础题，重点理解性质。
强化提升期：做综合题，一题多解，提升解题速度。
冲刺模拟期：做历年考题，每题控制在1分钟以内。

五、本章小结

数字基础是数量关系的底层逻辑，几乎所有题型都会用到。
7大知识点各有侧重：奇偶/整除排除选项，余数/公倍数解周期，质数/勾股数解特定模型。
学习核心：先理解，再记忆，最后通过练习融会贯通。

温馨提示：数字基础知识需要反复练习才能熟练掌握。建议每学完一个知识点，立即做10-15道配套练习题，巩固理解。

数量关系

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