本节定位：数量关系中最基础、最实用的数字特性。奇偶性判断简单易学，却能快速排除选项，是考场上"秒杀"题目的利器。
一、考点概述
1. 什么是奇偶性？
基本定义：
- 偶数：能被2整除的整数，形如 $2k$（$k$为整数），如 …, -4, -2, 0, 2, 4, …
- 奇数：不能被2整除的整数，形如 $2k+1$（$k$为整数），如 …, -3, -1, 1, 3, 5, …
特别注意：
- 0是偶数（$0 = 2 \times 0$，能被2整除）
- 负整数也有奇偶性：$-2$是偶数，$-3$是奇数
- 小数、分数没有奇偶性（只讨论整数）
2. 什么是符号判断？
核心问题：判断一个数或表达式的正负性
- 正数：大于0的数
- 负数：小于0的数
- 零：既不是正数也不是负数
应用场景：
- 幂次运算中的符号判断
- 不等式求解中的方向判断
- 最值问题中的范围限定
3. 考查频率与难度
| 考试类型 | 出现频率 | 难度定位 |
|---|---|---|
| 国考 | 高 | 基础必考 |
| 联考/省考 | 高 | 基础必考 |
| 事业单位 | 较高 | 高频考点 |
4. 为什么要学？
- 最简单的排除法：不需要计算，直接判断奇偶性排除选项
- 不定方程必备：通过奇偶性快速缩小未知数范围
- 应用范围广：几乎所有题型都可能用到奇偶性
- 零失误：规则简单明确，不容易出错
二、常见设问方式
1. 直接判断型（关键词：奇数、偶数）
- "以下哪个数是奇数……"（基础题）
- "a+b+c的奇偶性是……"（基础题）
- "满足条件的整数是奇数还是偶数……"（中档题）
2. 不定方程型（关键词：整数解、正整数）
- "方程有多少组正整数解……"（高频题）
- "满足条件的x可能是……"（高频题）
- "甲、乙两人各买了多少……"（综合题）
3. 符号判断型（关键词：正、负、大于、小于）
- "$(-2)^n$的符号是……"（基础题）
- "$a \times b \times c$的符号是……"（基础题）
- "以下哪个表达式一定为正数……"（易错题）
4. 和差问题型（关键词：和、差、相加、相减）
- "两数之和为奇数，则这两数……"（高频题）
- "知道和与差，判断两个数的奇偶性……"（中档题）
三、解题思路总览
1. 奇偶性运算规则
加减运算规则
| 运算 | 规则 | 记忆口诀 |
|---|---|---|
| 偶 $\pm$ 偶 | = 偶 | 同性为偶 |
| 奇 $\pm$ 奇 | = 偶 | |
| 奇 $\pm$ 偶 | = 奇 | 异性为奇 |
| 偶 $\pm$ 奇 | = 奇 |
核心口诀：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇
推广规则：多个整数相加减
- 奇数的个数为偶数个 → 结果为偶数
- 奇数的个数为奇数个 → 结果为奇数
乘法运算规则
| 运算 | 规则 | 记忆口诀 |
|---|---|---|
| 偶 $\times$ 偶 | = 偶 | 有偶则偶，全奇才奇 |
| 偶 $\times$ 奇 | = 偶 | |
| 奇 $\times$ 奇 | = 奇 |
核心口诀：有偶则偶，全奇才奇
推广规则：多个整数相乘
- 只要有一个偶数 → 结果为偶数
- 全部都是奇数 → 结果为奇数
幂次运算规则
- 偶数的任意次幂：永远是偶数（$2^n$ = 偶数）
- 奇数的任意次幂：永远是奇数（$3^n$ = 奇数）
2. 和差同性定理
核心定理：两个整数的和与差具有相同的奇偶性
若 a + b 为奇数，则 a - b 也为奇数
若 a + b 为偶数，则 a - b 也为偶数
证明：$(a+b) - (a-b) = 2b$，必为偶数，所以和与差奇偶性相同
重要推论：
- 和为奇 → 差为奇 → 两数一奇一偶
- 和为偶 → 差为偶 → 两数同奇或同偶
3. 符号判断规则
乘除法符号规则
| 运算 | 规则 | 记忆口诀 |
|---|---|---|
| 正 $\times$ 正 | = 正 | 同号为正 |
| 负 $\times$ 负 | = 正 | |
| 正 $\times$ 负 | = 负 | 异号为负 |
| 负 $\times$ 正 | = 负 |
推广规则：多个数相乘
- 负数的个数为偶数个 → 结果为正
- 负数的个数为奇数个 → 结果为负
幂次符号规则
| 底数 | 指数 | 结果符号 |
|---|---|---|
| 正数 | 任意 | 正 |
| 负数 | 偶数 | 正 |
| 负数 | 奇数 | 负 |
| 0 | 正整数 | 0 |
核心口诀：负数奇次方为负，负数偶次方为正
4. 不等式与放缩思想
基本不等式性质
- 同向可加：若 $a > b$，$c > d$，则 $a + c > b + d$
- 异向可减：若 $a > b$，$c < d$，则 $a - c > b - d$
- 同正可乘：若 $a > b > 0$，$c > d > 0$，则 $ac > bd$
- 乘负变号：若 $a > b$，则 $-a < -b$（重要！）
放缩技巧
放大：用更大的数替代原数
- 应用场景：证明"至少"、"最小"类问题
- 例：证明 $a + b \geq 10$，可将 $a$ 放大为 $a' \geq a$，若 $a' + b \geq 10$ 仍成立，则原式成立
缩小：用更小的数替代原数
- 应用场景：证明"至多"、"最大"类问题
四、典型题型拆分 + 例题精讲
题型一：奇偶性直接判断
核心方法：套用奇偶运算规则
【例1】基础判断
若 $a$、$b$ 都是奇数，则 $a^2 + b^2$ 是奇数还是偶数？
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解析：
- $a$ 是奇数 → $a^2 = $ 奇 $\times$ 奇 = 奇
- $b$ 是奇数 → $b^2 = $ 奇 $\times$ 奇 = 奇
- $a^2 + b^2 = $ 奇 + 奇 = 偶数
【例2】多数运算
1 + 2 + 3 + … + 100 的结果是奇数还是偶数？
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解析：
- 1到100中，奇数有50个（1, 3, 5, …, 99）。
- 奇数的个数是50个（偶数个）。
- 根据规则：奇数个数为偶数 → 结果为偶数。
验证：(1+100)×100/2 = 5050，确实是偶数 ✓
【例3】典型题
某次考试，甲、乙、丙三人的平均分是91分，且三人得分都是正整数。若甲的得分是最高分，甲最少得多少分？
A. 91 B. 92 C. 93 D. 94
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解析：
- 三人总分：$91 \times 3 = 273$。
- 设甲得 $x$ 分，则乙 + 丙 $= 273 - x$。
- 甲要最少，则乙、丙要尽量大（但都小于甲）。
- 乙、丙最大只能取到 $x - 1$，所以 乙 + 丙 $\leq (x-1) + (x-1) = 2x - 2$。
- 即 $273 - x \leq 2x - 2$，解得 $3x \geq 275$，$x \geq 91.67$。
- $x$ 为正整数，所以 $x$ 最小取 92。
- 验证 $x = 92$：乙 + 丙 $= 181$。取乙=91，丙=90（均小于92），符合题意。✓
答案：B
题型二：不定方程中的奇偶性
核心方法：通过奇偶性分析缩小未知数范围
【例4】典型题
某学校组织植树活动，参加人数在100到120之间。若每组3人，则多2人；若每组5人，则多3人。问参加植树活动的共有多少人？
A. 103 B. 108 C. 113 D. 118
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解析：
- 条件1：人数除以3余2 → 人数 $= 3k + 2$。
- 条件2：人数除以5余3 → 人数 $= 5m + 3$。
- 代入选项验证：
- A. 103：$103 \div 3=34 \cdots 1$ ✗
- B. 108：$108 \div 3=36 \cdots 0$ ✗
- C. 113：$113 \div 3=37 \cdots 2$ ✓，$113 \div 5=22 \cdots 3$ ✓
- D. 118：$118 \div 3=39 \cdots 1$ ✗
答案：C
【例5】经典不定方程
某班级购买笔记本和钢笔，笔记本每本7元，钢笔每支11元，共花费93元。问购买了多少支钢笔？
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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解析：
- 设笔记本 $x$ 本，钢笔 $y$ 支。
- 方程：$7x + 11y = 93$。
- 奇偶性分析：
- 93 是奇数。
- $7x$ 和 $11y$ 必须一奇一偶，相加才得奇数。
- 因为7和11都是奇数，所以 $x$ 和 $y$ 必须一奇一偶。
- 代入选项：
- A. $y=2$（偶）：$7x = 93 - 22 = 71$，无法整除 ✗
- B. $y=3$（奇）：$7x = 93 - 33 = 60$，无法整除 ✗
- C. $y=4$（偶）：$7x = 93 - 44 = 49$，$x = 7$（奇数）✓（符合一奇一偶）
- D. $y=5$（奇）：$7x = 93 - 55 = 38$，无法整除 ✗
答案：C
【例6】典型题
某单位购买甲、乙两种材料，甲种材料每吨3000元，乙种材料每吨5000元，共花费46000元。若甲种材料比乙种材料多买2吨，问甲种材料买了多少吨？
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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解析：
- 设乙种材料 $y$ 吨，则甲种 $y + 2$ 吨。
- 方程：$3000(y+2) + 5000y = 46000$。
- 化简：$3y + 6 + 5y = 46$ → $8y = 40$ → $y = 5$（整数，符合题意）。
- 此时甲 $x = y + 2 = 7$。
- 直接代入选项（更推荐）：
- A. $x=5$：$y = 3$，总价 $15000 + 15000 = 30000 \neq 46000$ ✗
- B. $x=6$：$y = 4$，总价 $18000 + 20000 = 38000 \neq 46000$ ✗
- C. $x=7$：$y = 5$，总价 $21000 + 25000 = 46000$ ✓
答案：C
题型三：和差同性应用
核心方法：利用"和与差奇偶性相同"快速判断
【例7】典型题
甲、乙两数之和为偶数，两数之差为奇数，则下列说法正确的是？
A. 甲、乙都是奇数 B. 甲、乙都是偶数
C. 甲、乙一奇一偶 D. 无法确定
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解析：
- 根据"和差同性定理"：和与差的奇偶性必须相同。
- 题目说和为偶、差为奇，矛盾！
- 说明不存在这样的甲、乙。
答案：题目本身矛盾，此题用于强调和差同性定理。
【例8】知和求差
甲、乙两数之和为37，问两数之差可能是以下哪个数？
A. 12 B. 14 C. 16 D. 17
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解析：
- 和为37（奇数）。
- 根据和差同性：差也必须是奇数。
- 选项中只有 D. 17 是奇数。
答案：D
【例9】典型题
甲、乙两人共有图书200本，甲的图书数量是乙的3倍还多8本。问甲有多少本图书？
A. 148 B. 150 C. 152 D. 154
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解析：
- 奇偶性秒杀：
- 甲 + 乙 $= 200$（偶数）→ 甲、乙同奇或同偶。
- 甲 $= 3 \times \text{乙} + 8$。若乙为奇，则 $3 \times \text{乙}$ 为奇，甲为奇+偶=奇（满足同奇）。若乙为偶，则 $3 \times \text{乙}$ 为偶，甲为偶+偶=偶（满足同偶）。
- 但请注意：甲 = 3乙 + 8。甲 - 3乙 = 8（偶数）。根据和差同性，甲和3乙奇偶性相同 → 甲和乙奇偶性相同。
- 看选项：甲必须是偶数（四个选项都是偶数，无法直接排除）。
- 直接解法：
- 设乙有 $x$ 本，甲有 $3x + 8$ 本。
- $x + (3x + 8) = 200$ → $4x = 192$ → $x = 48$。
- 甲 $= 3 \times 48 + 8 = 144 + 8 = 152$。
答案：C
题型四：符号判断
核心方法：数负因子个数，偶数个为正，奇数个为负
【例10】幂次符号
计算 $(-2)^{10} \times (-3)^5 \times 4^3$ 的符号是？
A. 正 B. 负 C. 零 D. 无法确定
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解析：
- $(-2)^{10}$：负数偶次方 → 正
- $(-3)^5$：负数奇次方 → 负
- $4^3$：正数任意次方 → 正
- 正 $\times$ 负 $\times$ 正 = 负
答案：B
【例11】多因子符号
若 $a < 0$，$b > 0$，$c < 0$，$d > 0$，则 $a \times b \times c \times d$ 的符号是？
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解析：
- 负因子个数：$a < 0$，$c < 0$，共2个（偶数）。
- 偶数个负因子 → 结果为正。
【例12】典型题
若 $x^2 - 5x + 6 < 0$，则 $x$ 的取值范围是？
A. $x < 2$ B. $x > 3$ C. $2 < x < 3$ D. $x < 2$ 或 $x > 3$
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解析：
- 因式分解：$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$。
- 口诀法：对于 $ax^2+bx+c < 0$（$a>0$），解集口诀为"小于取中间"。
- 两根为 2 和 3，所以 $2 < x < 3$。
答案：C
题型五：质数与奇偶性综合
核心知识：2是唯一的偶质数
【例13】质数和问题
三个质数之和为30，求这三个质数的乘积最大值。
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解析：
- 30是偶数。
- 三个奇数相加 = 奇数（不可能等于偶数30）。
- 所以必有一个偶质数，即必含2。
- 设三个质数为 2, $p$, $q$，则 $p + q = 28$。
- 乘积最大 → $p$、$q$ 越接近越好。
- $28 = 11 + 17$（都是质数，且最接近）。
- 最大乘积：$2 \times 11 \times 17 = $ 374。
【例14】典型题
两个质数的和为39，求这两个质数的乘积。
A. 74 B. 146 C. 152 D. 194
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解析：
- 39是奇数。
- 两数之和为奇数 → 两数一奇一偶。
- 质数中唯一的偶数是2。
- 所以一个质数是2，另一个是 $39 - 2 = 37$。
- 乘积：$2 \times 37 = $ 74。
答案：A
五、高频易错点与命题陷阱
易错点1：忘记0是偶数
错误：认为偶数必须是2, 4, 6, …正偶数
正确：0也是偶数，负偶数（-2, -4, …）也是偶数
易错点2：小数没有奇偶性
错误：判断 3.5 是奇数还是偶数
正确：奇偶性只对整数有定义，小数、分数无奇偶性
易错点3：混淆"和差同性"的应用
| 已知条件 | 正确推断 |
|---|---|
| 和为奇 | 差也为奇 → 两数一奇一偶 |
| 和为偶 | 差也为偶 → 两数同奇或同偶 |
易错点4：幂次符号判断错误
易错情形：$(-a)^2$ 和 $-a^2$ 的区别
- $(-a)^2 = a^2$（永远非负）
- $-a^2 = -(a^2)$（永远非正）
易错点5：忽略"2是唯一偶质数"
典型错误：两个质数之和为奇数，误认为没有解
正确思路：和为奇 → 一奇一偶 → 必有一个是2
易错点6：不等式两边同乘负数忘记变号
规则：不等式两边同乘或同除以负数，不等号方向改变
- 若 $a > b$，则 $-a < -b$
- 若 $a > b$ 且 $c < 0$，则 $ac < bc$
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 奇偶运算规则：
- 加减：同性为偶，异性为奇
- 乘法：有偶则偶，全奇才奇
- 和差同性定理：和与差的奇偶性相同。
- 符号判断规则：
- 负因子偶数个为正，奇数个为负。
- 质数特殊性：2是唯一的偶质数。
刷题建议
- 基础巩固：直接奇偶判断题，简单的和差同性应用。
- 强化提升：不定方程 + 奇偶性综合，质数 + 奇偶性综合。
- 温馨提示：拿到题目先看能否用奇偶性秒杀，再列方程。