本节定位：植树问题是行测中的经典小模块，核心是理解"总长、间隔数、棵数"三者之间的关系。知识点少、公式简单，一旦掌握即可快速得分。
一、考点概述
1. 什么是植树问题？
植树问题研究的是在一段路程上，按照固定间隔种树（或安装路灯、设置标记点等），求总长、间隔、棵数之间关系的问题。
2. 核心关系
植树问题的本质是"间隔数"与"棵数"的对应关系，需要根据端点是否种树来选择公式。
3. 衍生题型
- 剪绳问题：将绳子截为N段，需要截(N-1)次。
- 调整间距问题：涉及最小公倍数应用。
- 指定位置问题：涉及最大公约数应用。
二、常见设问方式
- 【两端都种】"从头到尾在道路两侧每隔X米种树，共需多少棵？"
- 【两端都不种】"两座楼房之间每隔X米栽树，能栽多少棵？"
- 【只种一端】"一端为建筑物，从起点开始每隔X米种树..."
- 【环形/封闭】"在周长为X米的花坛周围每隔Y米种树..."
- 【调整间距】"原间隔为A米，现改为B米，有多少棵树不需移动？"
- 【剪绳问题】"一根绳子对折N次后从中间剪断，共剪成几段？"
三、解题思路总览
1. 基本公式（必背）
| 类型 | 公式 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 单边线型（两端都种） | 棵数 = 总长 ÷ 间隔 + 1 | 道路起点和终点均需植树（如路灯、行道树） |
| 单边线型（只种一端） | 棵数 = 总长 ÷ 间隔 | 一端为建筑物或障碍物 |
| 单边线型（两端都不种） | 棵数 = 总长 ÷ 间隔 − 1 | 两座楼房之间植树 |
| 封闭曲线（环形） | 棵数 = 总长 ÷ 间隔 | 花坛、池塘周边、环形跑道（首尾重合） |
| 双边植树 | 在单边公式基础上 × 2 | 马路两侧都要植树 |
2. 衍生公式
- 剪绳问题：剪N刀 = N+1段；对折K次后从中间剪一刀 = $2^K + 1$ 段
- 调整间距（不动树）：不动位置 = 原间隔与新间隔的最小公倍数的位置
- 指定位置（最少棵数）：间隔 = 各分段长度的最大公约数
四、典型题型拆分与例题精讲
题型一：单边线型植树（两端都种）
【例1】
150米堤坝两侧每隉10米种树，从头到尾种植，共需多少棵？
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解析：
- 单侧棵数 = 150 ÷ 10 + 1 = 16棵
- 双侧棵数 = 16 × 2 = 32棵
答案：32棵
题型二：单边线型植树（两端都不种）
【例2】
两楼相距56米，每隔4米树树，求树树棵数？
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解析：
两端都不种（楼房位置不种树）：棵数 = 56 ÷ 4 − 1 = 13棵
答案：13棵
题型三：封闭曲线植树（环形）
【例3】
周长270米圆形花坛，每隔3米植球瑰，需多少朵？
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解析：
环形植树：棵数 = 270 ÷ 3 = 90棵
答案：90棵
【例4】
一环形跑道上画了100个标记点，已知相邻任意两个标记点之间的跑道距离相等。某人在环形跑道上跑了半圈，问他最多能经过几个标记点？
A.49 B.51 C.50 D.100
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解析：
- 环形跑道100个标记点，即100个间隔。
- 跑半圈 = 50个间隔。
- 从某点出发到终点（两端都算），经过的标记点 = 50 + 1 = 51个。
答案：B
题型四：调整间距问题（最小公倍数）
【例5】
某条道路进行灯光增亮工程，原来间隄35米的路灯一共有21盏，现要将路灯的间隔缩短为25米，那么有（ ）盏路灯无需移动。
A.2 B.3 C.4 D.5
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解析：
- 求总长：21盏灯有20个间隔（注意不是21），总长 = 20 × 35 = 700米。
- 找不动位置：原位置是35的倍数，新位置是25的倍数。不动位置 = 35和25的公倍数位置。
- 求最小公倍数：LCM(35, 25) = 175米。
- 计算不动棵数：700 ÷ 175 = 4个间隔。加上起点（0米处），共 4 + 1 = 5盏。
答案：D
【例6】
道路一侧原按4米间距植树，现改为6米间距。若总长120米且两端有树，多少棵树不需移动？
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解析：
- 原位置为4的倍数，新位置为6的倍数。
- 最小公倍数 LCM(4, 6) = 12米。
- 不动棵数 = 120 ÷ 12 + 1 = 11棵（含两端）。
答案：11棵
题型五：指定位置问题（最大公约数）
【例7】
东西长600米礼堂顶部安装吊灯，距西墙375米处必装一盏，吊灯均匀排列且墙角不装，至少需几盏？
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解析：
- 将600米分为375米和225米两段（600 - 375 = 225）。
- 取两段最大公约数：GCD(375, 225) = 75米（间距最大，盏数最少）。
- 总盏数 = 600 ÷ 75 − 1 = 7盏（两端不装）。
答案：7盏
题型六：剪绳问题
【例8】
一根绳子对折三次后，从中间剪断，共剪成（ ）段绳子。
A.9 B.6 C.5 D.3
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解析：
- 对托1次：中间2股
- 对托2次：中间4股
- 对托3次：中间8股
- 从中间剪一刀 = 对这8股绳子各剪了一刀。
- 绳子被剪断点数 = 8个断口。段数 = 8 + 1 = 9段。
答案：A
公式：对折K次后从中间剪一刀 = $2^K + 1$ 段。
题型七：复合条件植树
【例9】
在长581米的道路两侧植树，假设该路段仅两端有路口，要求在道路路口15米范围内最多植1棵树，并且相邻两棵树间的距离为4米，问最多能植多少棵树？
A.137 B.139 C.278 D.280
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解析：
- 处理路口：两端各15米范围内最多1棵。为求"最多"，应尽量密，即两端各植1棵（就在路口处）。
- 最优解法：两端各种一棵（位置0和581）。中间的树距离两端至少15米。有效种植区间长度 = 581 - 15 - 15 = 551米。
- 中间段间隔数：551 ÷ 4 = 137.75。最多能容纳137个间隔。
- 中间段棵数：137 + 1 = 138棵。
- 单侧总棵数：138 + 2（两端） = 140棵。
- 双侧总棵数：140 × 2 = 280棵。
答案：D
答案：D
五、高频易错点与命题陷阱
| 易错点 | 错误表现 | 正确应对 |
|---|---|---|
| 双边植树忘×2 | 只算单侧棵数 | 注意题目是否说"道路两侧"，若是则最后结果乘2。 |
| 端点条件判断错 | 两端都种用成了两端都不种 | 仔细审题：楼间→两端不种；从头到尾→两端都种。 |
| 环形与线型混淆 | 环形用了+1公式 | 环形（封闭曲线）：棵数 = 总长 ÷ 间隔（不加不减）。 |
| 最小公倍数漏端点 | 不动树数未加端点 | 若两端有树，不动树数 = 总长 ÷ LCM + 1。 |
| 剪绳问题算错 | 对折次数与股数关系搞错 | 对折K次 = $2^K$股；剪一刀 = 剪了$2^K$刀 = $2^K + 1$段。 |
六、小结与刷题建议
核心要点回顾
- 线型两端都种：棵数 = 总长 ÷ 间隔 + 1
- 线型两端都不种：棵数 = 总长 ÷ 间隔 − 1
- 环形植树：棵数 = 总长 ÷ 间隔（不加不减）
- 双边植树：单边结果 × 2
- 调整间距不动树：用最小公倍数
- 指定位置最少棵：用最大公约数
- 剪绳问题：对折K次剪一刀 = $2^K + 1$段
刷题建议
- 基础必练：三种线型公式（两端都种/只种一端/两端都不种）各做2-3道。
- 进阶题型：调整间距（最小公倍数）、剪绳问题各做2道。
- 注意事项：审题时首先判断是单边还是双边、端点是否种树。