本节定位：本节是排列组合的进阶内容，聚焦于几类特定模型的“秒杀公式”以及复杂限制条件的处理策略。这些模型在考试中较常出现，掌握后可快速解题。建议先学好基础篇再学本节。

一、考点概述

1. 什么是排列组合进阶？

排列组合进阶主要包括以下几类特殊模型：

  • 插板法：相同元素分配给不同对象，每人至少分1个
  • 错位排列：所有元素都不在原来位置（全错位）
  • 环形排列：围成一圈的排列（无首尾之分）
  • 复杂限制：多个条件同时限制的综合题

2. 考查频率

考试类型 年均题量 难度定位 备注
国考 0-1题 中等到较难 插板法、错位排列偶尔出现
省考联考 0-1题 中等 插板法考得最多
事业单位 偶尔出现 中等 不是重点，但要会识别

3. 为什么要学进阶内容？

  • 秒杀利器：识别模型后直接套公式，不需要复杂推导
  • 拉开分差：这类题会做的人少，掌握后可与竞争者拉开差距
  • 考场识别：学会识别题型，避免在不会的题上浪费时间

二、常见设问方式

  • 【插板法】 “将N个相同的XX分给M个人/组，每人至少分得一个...”
  • 【允许为空】 “将N个相同的XX分给M个人，可以有人没分到...”
  • 【错位排列】 “所有车都不能停在原来的车位...” “N封信全部装错信封...”
  • 【环形排列】 “围坐在圆桌旁...” “围成一圈...” “绕着篝火...”
  • 【复杂限制】 “甲不能在第一位，乙必须在最后，丙丁必须相邻...”

三、解题思路总览

核心思想：识别模型 + 套用公式

进阶排列组合的核心思路：
  1. 识别模型：是插板法、错位排列还是环形排列？
  2. 检查条件：是否满足模型的适用条件？
  3. 套用公式：直接代入对应公式计算
  4. 处理变形：如果有变形（如允许为空），先转化再套公式

各模型核心公式速查

  • 插板法（基本）：n个同物分m人，每人至少1个 → $C_{n-1}^{m-1}$
  • 插板法（允许为空）：先每人借1个 → $C_{n+m-1}^{m-1}$
  • 插板法（至少k个）：先每人发k-1个 → $C_{n-m(k-1)-1}^{m-1}$
  • 错位排列：$D_4=9$，$D_5=44$（直接背）
  • 环形排列：n人围坐 → $(n-1)!$

四、典型题型拆分

题型一：插板法（相同元素分配）

识别特征：相同元素、不同对象、每人至少1个

适用条件（缺一不可）

  • 元素相同（如10个完全一样的苹果）
  • 分给不同对象（如3个不同的小朋友）
  • 每人至少分1个

核心公式

将 $n$ 个相同元素分给 $m$ 个不同对象，每人至少 1 个：

$N = C_{n-1}^{m-1}$

原理：$n$ 个元素排成一排，中间产生 $n-1$ 个空隙，插入 $m-1$ 个板子，将其隔成 $m$ 份。

【例1】

题目：将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法？

A. 14种   B. 18种   C. 20种   D. 22种

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【解题思路】

识别模型：相同元素（7个桔子）、不同对象（4个小朋友）、每人至少1个 → 插板法

直接套公式：$C_{7-1}^{4-1} = C_6^3 = \frac{6\times5\times4}{3\times2\times1} = 20$种

【答案】C

常见变形

变形1：允许为空（至少分0个）

策略：先借后还——假设每人先“借”1个，总数变为$n+m$，再用基本公式

公式：$C_{n+m-1}^{m-1}$

【例2】

题目：10个相同的苹果分给3个小朋友，允许有人没分到，有多少种分法？

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【解题思路】

先借后还：每人先借1个，总数变为10+3=13个

转化为：13个苹果分给3人，每人至少1个

$N = C_{13-1}^{3-1} = C_{12}^2 = 66$种

变形2：至少分k个（通用公式）

策略：先给后分——先给每人发k-1个，剩下的再用基本公式

【例3】

题目：某城市一条道路上有4个十字路口，每个十字路口至少有1名交通协管员，现将8个协管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：

A. 35种   B. 70种   C. 96种   D. 114种

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【解题思路】

识别模型：相同元素（8个名额）、不同对象（4个路口）、每人至少1个 → 插板法

注：本题k=1，直接套用基本公式即可；若要求至少2个，则先给每人发1个，剩下再插板。

直接套公式：$C_{8-1}^{4-1} = C_7^3 = \frac{7\times6\times5}{3\times2\times1} = 35$种

【答案】A

题型二：错位排列（全错位）

识别特征：所有元素都不在原位置（信装错信封、车停错车位）

核心结论（直接背）

  • $D_1 = 0$（不可能）
  • $D_2 = 1$
  • $D_3 = 2$
  • $D_4 = 9$（常考！）
  • $D_5 = 44$（常考！）
  • $D_6 = 265$（很少考）

【例4】

题目：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？

A. 9   B. 12   C. 14   D. 16

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【解题思路】

识别模型：4辆车都不在原车位 → 错位排列

直接套结论：$D_4 = 9$种

【答案】A

【例5】

题目：某集团企业5个分公司分别派出1人去集团总部参加培训，培训后再将5人随机分配到这5个分公司，每个分公司只分配1人。问5个参加培训的人中，有且仅1人在培训后返回原分公司的概率：

A. 低于20%   B. 在20%~30%之间   C. 在30%~35%之间   D. 大于35%

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【解题思路】

“有且仅1人返回原分公司” → 恰好1人回原位，另4人全错位

  • 选哪1人回原位：$C_5^1 = 5$种
  • 剩下4人全错位：$D_4 = 9$种
  • 满足条件数：$5 \times 9 = 45$
  • 总情况数：$A_5^5 = 120$

概率 = $\frac{45}{120} = 37.5\%$，大于35%

【答案】D

题型三：环形排列（圆桌问题）

识别特征：围坐、围成一圈、篝火旁

核心公式

$N = (n-1)!$

原理：环形排列没有首尾之分，旋转后视为同一种排列，因此需要除以n个旋转重复。

【例6】

题目：5个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少种不同方法？

A. 24   B. 60   C. 120   D. 720

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【解题思路】

识别模型：围成一圆 → 环形排列

直接套公式：$N = (5-1)! = 4! = 24$种

【答案】A

题型四：复杂限制条件综合题

识别特征：多个条件同时限制（如甲不能在第一位、乙必须在最后、丙丁必须相邻）

解题策略

  1. 特殊优先：先处理限制最多的元素/位置
  2. 分类讨论：根据某个条件将问题分成互斥的几类
  3. 逆向思维：如果正面复杂，用总数-不满足数

【例7】

题目：某单位随机安排张、王、刘、李、陈5名职工去甲、乙、丙三个地方开展调研。要求甲、乙两地各2人，且张、王两人不能同组，刘、陈二人必须同组，则共有多少种不同的安排方式？

A. 4种   B. 6种   C. 12种   D. 24种

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【解题思路】

复杂限制，特殊优先：

  1. 刘陈必须同组 → 先把他们捆绑，看成一个“大元素”
  2. 甲、乙各2人，丙去1人 → 刘陈只能去甲或乙（因为丙只能去1人）
  3. 分类：刘陈去甲，或刘陈去乙 → 2种
  4. 张王不同组，则张王分别去剩下的甲/乙和丙 → 2种
  5. 剩下李一人只能去剩下的甲/乙 → 1种

总数 = $2 \times 2 \times 1 = 4$种

【答案】A

【例8】

题目：某场学术论坛有6家企业作报告，其中A企业和B企业要求在相邻的时间内作报告，C企业作报告的时间必须在D企业之后、在E企业之前，F企业要求不能第一个，也不能最后一个作报告。如满足所有企业的要求，则报告的先后次序共有多少种不同的安排方式？

A. 12种   B. 24种   C. 72种   D. 144种

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【解题思路】

分步处理复杂限制：

  1. AB相邻 → 捆绑成一个“大元素”，现在相当于5个元素排列。
  2. D在C前，C在E前 → D-C-E相对顺序固定（只有一种顺序），F不在首尾。
  3. 技巧解法：
    • 5个元素（AB、D、C、E、F）全排列，其中DCE顺序固定 → $\frac{A_5^5}{A_3^3} = 20$种
    • 这20种里，F出现在任何位置的概率均等。F只能在中间3个位置（共5个位置），概率为 $\frac{3}{5}$
    • $20 \times \frac{3}{5} = 12$种
  4. 最后别忘AB内部排列：$12 \times A_2^2 = 24$种

【答案】B

五、高频易错点与命题陷阱

易错点 典型错误 正确理解
1. 插板法适用条件不满足 “不同的苹果”也用插板法 插板法要求元素相同，不同元素不能用
2. 允许为空忘记转化 “可以有人没分到”直接用基本公式 要先借后还，总数+人数后再套公式
3. 错位排列数值记错 把$D_4=9$记成$D_4=4$ 死记：$D_4=9$，$D_5=44$
4. 环形排列忘记除n 5人围坐用$5!=120$ 环形排列是$(n-1)!$，不是$n!$
5. 复杂限制条件遗漏 只处理了部分限制条件 按顺序逐个处理每个限制条件，不能遗漏
6. “恰好”与“至少”混淆 “恰好1人回原位”理解为“至少1人” “恰好1人”意味着其他人全错位，要用错位排列

六、小结与刷题建议

核心结论速记

  1. 插板法基本：n同物分m人，每人至少1个 → $C_{n-1}^{m-1}$
  2. 插板法允许为空：先借后还 → $C_{n+m-1}^{m-1}$
  3. 插板法至少k个：先发k-1个，剩下的再用基本公式
  4. 错位排列：$D_4=9$，$D_5=44$（直接背）
  5. 环形排列：n人围坐 → $(n-1)!$
  6. 复杂限制：特殊优先 + 分类讨论 + 逆向思维

刷题建议

阶段 建议
基础阶段 先熟练掌握基础篇（捆绑法、插空法），再学进阶内容
提高阶段 重点攻克插板法和错位排列，这两类考得最多
考场策略 进阶题难度大，识别模型后能秒杀，不识别就果断跳过

进阶排列组合的核心是识别模型——看到“相同元素分配”想到插板法，看到“全部错位”想到D数列，看到“围坐”想到环形排列。考场上如果识别出模型，直接套公式即可；如果识别不出或条件复杂，果断跳过不要浪费时间。