本节定位：间隔增长率题目要求计算隔一年的增长率（如今年与前年相比），核心公式为：R = r₁ + r₂ + r₁ × r₂。其中r₁为中间年份增速，r₂为现期增速。掌握“高减低加”口诀求r₁，掌握忽略乘法项的条件（均<10%）是关键。
一、考点识别
题目中出现以下特征时，确定为间隔增长率题：
- 求隔一年的增长率（如2024年与2022年相比）
- "...与两年前相比增长了多少"
- "...比前年增长/下降了多少"
核心特征：中间隔一个时期（通常隔1年），求现期相对于间隔基期的增长率。
时间关系示意
例如：有三个时期2022、2023、2024
- r₁：2023年相对于2022年的增长率
- r₂：2024年相对于2023年的增长率
- R：2024年相对于2022年的增长率（间隔增长率）
二、核心公式
间隔增长率公式
R = r₁ + r₂ + r₁ × r₂
其中：
- r₁：中间年份的增长率（第一年增速）
- r₂：现期年份的增长率（第二年增速）
- R：间隔增长率（两年复合增长率）
公式推导
设基期量为1：
- 第一年后的量 = 1 × (1+r₁) = 1+r₁
- 第二年后的量 = (1+r₁) × (1+r₂) = 1+r₁+r₂+r₁×r₂
- 间隔增长率 R = (现期量/基期量) - 1 = r₁ + r₂ + r₁ × r₂
三、速算技巧
技巧1：先算加法排除
先算 r₁ + r₂，可快速排除部分选项。
因为 R = r₁ + r₂ + r₁×r₂，当r₁、r₂同号且为正时，R > r₁+r₂
技巧2：忽略乘法项
当 r₁ 和 r₂ 均小于10% 时，r₁×r₂ 很小，可忽略：
R ≈ r₁ + r₂
例：5% + 8% + 5%×8% ≈ 5% + 8% = 13%（实际为13.4%，误差0.4%）
技巧3：百分化分数
当 r₁ 或 r₂ 大于10% 时，乘法项不能忽略：
将较小的百分数化成分数计算。
例：5% + 36% + 5%×36%
- 5% = 1/20
- r₁×r₂ = 36%/20 = 1.8%
- R ≈ 5% + 36% + 1.8% = 42.8%
四、求r₁的方法
题目常给出现期增速r₂和增速变化，需要先求r₁：
口诀：高减低加
| 题目表述 | 计算方法 | 示例 |
|---|---|---|
| 增速提高X个百分点 | r₁ = r₂ - X | 现增10%，提高3点 → r₁=7% |
| 增速加快X个百分点 | r₁ = r₂ - X | 现增10%，加快3点 → r₁=7% |
| 增速回落X个百分点 | r₁ = r₂ + X | 现增10%，回落3点 → r₁=13% |
| 增速下降X个百分点 | r₁ = r₂ + X | 现增10%，下降3点 → r₁=13% |
降幅的处理
| 题目表述 | 计算方法 | 示例 |
|---|---|---|
| 降幅扩大X个百分点 | r₁ = -(|r₂| - X) | 现降10%，扩大3点 → r₁=-7% |
| 降幅收窄X个百分点 | r₁ = -(|r₂| + X) | 现降10%，收窄3点 → r₁=-13% |
五、例题精讲
【例1】（基础计算）
某市2019年GDP增长6%，2020年增长9%。
问：2020年GDP与2018年相比增长了约多少？
A.13% B.15% C.16% D.18%
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解析：
- 识别题型：2020年与2018年相比 → 间隔增长率
- 确定变量：r₁ = 6%，r₂ = 9%
- 套用公式：
- R = r₁ + r₂ + r₁ × r₂
- = 6% + 9% + 6% × 9%
- = 15% + 0.54% ≈ 15.54%
答案：C
【例2】（需要求r₁）
2017年全国规模以上工业企业实现利润总额75187.1亿元，比上年增长21%，增速比上年加快12.5个百分点。
问：2017年利润总额与2015年相比增长了约多少？
A.25% B.28% C.31% D.34%
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解析：
- 求r₁（2016年增速）：
- "加快"用减法：r₁ = 21% - 12.5% = 8.5%
- 确定变量：r₁ = 8.5%，r₂ = 21%
- 套用公式：
- R = 8.5% + 21% + 8.5% × 21%
- = 29.5% + 1.785% ≈ 31.3%
答案：C
【例3】（增速回落）
2017年某省农林牧渔业增加值361.78亿元，比上年增长5.9%，增速较上年回落1.2个百分点。
问：2017年该省增加值与2015年相比增长了约多少？
A.11% B.13% C.15% D.17%
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解析：
- 求r₁（2016年增速）：
- "回落"用加法：r₁ = 5.9% + 1.2% = 7.1%
- 确定变量：r₁ = 7.1%，r₂ = 5.9%
- 套用公式：
- R = 7.1% + 5.9% + 7.1% × 5.9%
- = 13% + 0.42% ≈ 13.4%
答案：B
【例4】（负增长）
2015年我国钟表行业生产时钟产值162亿元，同比下降4.7%，降幅扩大1.3个百分点。
问：2015年时钟产值与2013年相比变化情况是：
A.上升了11% B.下降了11% C.上升了8% D.下降了8%
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解析：
- 求r₁（2014年增速）：
- "降幅扩大"：|r₁| = 4.7% - 1.3% = 3.4%
- r₁ = -3.4%
- 确定变量：r₁ = -3.4%，r₂ = -4.7%
- 套用公式：
- R = (-3.4%) + (-4.7%) + (-3.4%) × (-4.7%)
- = -8.1% + 0.16% ≈ -7.9%
- 结论：R为负，下降约8%
答案：D
【例5】（降幅收窄）
2020年某市进出口总额680亿美元，同比下降8.5%，降幅比上年扩大3.2个百分点。
问：2020年进出口总额与2018年相比变化情况是：
A.下降约10% B.下降约13% C.下降约16% D.下降约19%
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解析：
- 求r₁（2019年增速）：
- "降幅扩大"：|r₁| = 8.5% - 3.2% = 5.3%
- r₁ = -5.3%
- 确定变量：r₁ = -5.3%，r₂ = -8.5%
- 套用公式：
- R = (-5.3%) + (-8.5%) + (-5.3%) × (-8.5%)
- = -13.8% + 0.45% ≈ -13.35%
答案：B
六、与间隔基期的关系
求出间隔增长率R后，可进一步求间隔基期量：
间隔基期量 = 现期量 / (1 + R)
或者用变形公式：
间隔基期量 = 现期量 / [(1+r₁)(1+r₂)]
七、易错点提醒
1. 时间错位
注意区分：
- r₁ 是中间年份的增长率（如2016年）
- r₂ 是现期年份的增长率（如2017年）
2. "高减低加"用错
- 增速提高/加快 → 用减法
- 增速回落/下降 → 用加法
3. 负增长计算
当r₁、r₂为负时，r₁×r₂为正值：
(-5%) × (-8%) = +0.4%
4. 直接相加的错误
间隔增长率 ≠ r₁ + r₂（忽略了乘法项）
只有当r₁、r₂都很小（<5%）时才能近似相加
八、实战演练
【练习1】
2023年某企业营收增长12%，2024年增长8%。
问：2024年营收与2022年相比增长了约多少？
A.18% B.20% C.21% D.24%
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解析：
- R = 12% + 8% + 12%×8% = 20% + 0.96% ≈ 21%
答案：C
【练习2】
2024年某市GDP增长5%，增速比上年提高2个百分点。
问：2024年GDP与2022年相比增长了约多少？
A.6% B.8% C.10% D.12%
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解析：
- 求r₁：r₁ = 5% - 2% = 3%
- 计算：R = 3% + 5% + 3%×5% = 8% + 0.15% ≈ 8.15%
答案：B
【练习3】
2023年某产品销量下降6%，降幅比上年收窄4个百分点。
问：2023年销量与2021年相比变化情况是：
A.下降约12% B.下降约16% C.上升约12% D.上升约16%
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解析：
- 求r₁：降幅收窄用加法，|r₁| = 6% + 4% = 10%，r₁ = -10%
- 计算：R = (-10%) + (-6%) + (-10%)×(-6%) = -16% + 0.6% ≈ -15.4%
答案：B