本节定位：容斥原理用于解决集合重叠问题,判断"既...又...""至少""至多"等情况下的交集范围。掌握占比之和与100%的关系,可快速判断重叠区间。

一、考点识别

题目中出现以下关键词时，考虑使用容斥原理：

  • "既……又……"
  • "同时满足……"
  • "至少……"
  • "至多……"
  • "有无交集"
  • 两个或多个占比之和

二、核心思路与公式

1. 判断有无交集

规则：占比之和超过100%，则一定有交集。

例如：A占60%，B占50%，则60%+50%=110%>100%，说明A和B一定有交集（重叠部分）。

2. 求"至少"（最少重叠）

核心思想：考虑"尽量相斥"、"重合尽量少"。

公式：

  • 至少重叠 = a + b - 100%
  • 或：至少重叠 = a + b - 总量

理解：两个集合尽量不重叠时，超出总量的部分就是必须重叠的部分。

3. 求"至多"（最多重叠）

核心思想：考虑"包含"关系。

公式：至多重叠 = 占比较少项的比重

理解：当小集合完全被大集合包含时，重叠最大，此时重叠部分等于小集合本身。

4. 求"既A又B"的占比范围

结论：既A又B的占比在"至少"和"至多"之间。

即：(a + b - 100%) ≤ 既A又B ≤ min(a, b)

三、解题模型

【找数】

  1. 找出各集合的占比或数量（如A占a%，B占b%）
  2. 确定总量（通常为100%或具体总数）

【列式】

  • 问有无交集：判断 a + b 与 100% 的关系
  • 问至少重叠：a + b - 100%
  • 问至多重叠：min(a, b)

【计算】

容斥问题计算通常较简单，主要是加减运算，关键在于理解题意和选择正确公式。

四、经典例题

【例1】

某公司员工中，持有本科学历的占65%，持有研究生学历的占40%。问：既持有本科学历又持有研究生学历的员工至少占多少？
A.5%　　B.10%　　C.15%　　D.40%
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解析：

  1. 识别题型：问"至少"，考虑尽量相斥。
  2. 代入公式：至少重叠 = 65% + 40% - 100% = 5%。

答案：A

【例2】

某班级学生中，参加数学竞赛的占55%，参加物理竞赛的占48%。问：同时参加两项竞赛的学生至多占多少？
A.48%　　B.55%　　C.3%　　D.103%
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解析：

  1. 识别题型：问"至多"，考虑包含关系。
  2. 代入公式：至多重叠 = min(55%, 48%) = 48%。
  3. 理解：当参加物理竞赛的学生全部都参加了数学竞赛时，重叠最大。

答案：A

【例3】

某地区调查显示，使用智能手机的居民占72%，使用平板电脑的居民占35%。问：该地区居民中，智能手机用户与平板电脑用户是否一定存在交集？
A.一定存在　　B.一定不存在　　C.不一定存在　　D.无法判断
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解析：

  1. 识别题型：问有无交集。
  2. 判断方法：72% + 35% = 107% > 100%。
  3. 结论：占比之和超过100%，一定有交集。

答案：A

五、易错点提醒

  • 混淆"至少"与"至多"：至少是下限（尽量不重叠），至多是上限（完全包含）
  • 忽略占比之和与100%的比较：只有超过100%才一定有交集
  • 三集合问题：资料分析中较少出现，若遇到需使用更复杂的容斥公式