本节定位：乘积增长率题目针对变量间存在乘积关系（C = A × B）的场景，核心公式为：c = a + b + a×b。该公式与间隔增长率公式完全一致。常见场景：总数=平均数×个数、总价=单价×数量、总产量=亩产×面积等。掌握近似公式 c ≈ a+b 和反向求解公式是关键。
一、考点识别
题目中出现以下特征时，考虑乘积增长率：
- 变量之间存在乘积关系：C = A × B
- 已知A、B的增长率，求C的增长率
- 常见场景：总数=平均数×个数、总价=单价×数量、总产量=亩产×面积等
二、核心定义
乘积增长率：当变量满足 C = A × B 的乘积关系时，已知A的增长率a、B的增长率b，求C的增长率c。
三、核心公式
1. 精确公式
c = a + b + a×b
此公式与间隔增长率公式完全一致！
2. 近似公式
当增长率较小（|a|、|b| < 10%）时，a×b项可忽略：
c ≈ a + b
3. 公式推导
设 C = A × B
- C的现期量 = A×(1+a) × B×(1+b) = AB×(1+a)(1+b)
- C的基期量 = A × B
- C的增长率 = (1+a)(1+b) - 1 = a + b + a×b
四、常见题型
| 题型类别 | 乘积关系 | 示例 |
|---|---|---|
| 平均数类 | 总数 = 平均数 × 个数 | 总收入 = 人均收入 × 人数 |
| 比重类 | 部分 = 整体 × 比重 | 出口额 = 进出口总额 × 出口占比 |
| 经济类 | 总价 = 单价 × 数量 | 总收入 = 单价 × 销量 |
| 产量类 | 总产量 = 亩产 × 面积 | 粮食总产量 = 单产 × 播种面积 |
| GDP类 | GDP = 人均GDP × 人口 | 地区GDP = 人均GDP × 常住人口 |
五、与间隔增长率的联系
乘积增长率与间隔增长率公式完全相同，区别在于应用场景：
- 间隔增长率：时间维度，隔一年的增长率（r₁+r₂+r₁×r₂）
- 乘积增长率：变量维度，乘积关系的增长率（a+b+a×b）
六、速算技巧
1. 先算加法排除选项
先计算 a+b，快速定位答案范围。
2. 判断是否需要乘法项
- 若 |a|、|b| 均 < 10%：可忽略 a×b，直接用 c ≈ a+b
- 若 |a| 或 |b| > 10%：需计算 a×b 项
3. 乘法项速算（百分化分数）
将较小的增长率化为分数计算：
例：5% × 36% = (1/20) × 36% = 1.8%
4. 正负增长率处理
- a > 0，b > 0：c > a+b（乘法项为正）
- a > 0，b < 0（或相反）：c < a+b（乘法项为负）
- a < 0，b < 0：c > a+b（乘法项为正，但注意c可能为负）
七、反向运用（求分量增长率）
已知C的增长率c和A的增长率a，求B的增长率b：
b = (1+c)/(1+a) - 1 = (c-a)/(1+a)
近似：b ≈ c - a（当a较小时）
八、易错点
- 忽略乘法项：当增长率较大时，不能简单相加
- 正负号处理错误：注意a×b的符号（一正一负为负）
- 混淆乘积与相加：确认变量关系是乘积而非相加（相加用混合增长率）
- 反向求解公式错误：反向求分量增长率时需用精确公式
九、例题精讲
【例1】求乘积的增长率
某地区2023年人均GDP增长率为4.5%，人口增长率为0.8%。2023年该地区GDP总量增长率约为：
A. 4.3% B. 5.3% C. 5.7% D. 6.0%
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解析：
- 识别：GDP = 人均GDP × 人口 → 乘积关系
- 已知：人均GDP增长率a=4.5%，人口增长率b=0.8%
- 两者均 < 10%，可用近似公式：c ≈ a+b = 4.5%+0.8% = 5.3%
- 精确验证：c = 4.5%+0.8%+4.5%×0.8% = 5.3%+0.036% ≈ 5.34%
答案：B
【例2】正负增长率混合
某工厂2022年亩产下降2%，播种面积增长10%。2022年总产量增长率约为：
A. 7.8% B. 8.0% C. 8.2% D. 12.0%
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解析：
- 识别：总产量 = 亩产 × 播种面积 → 乘积关系
- 已知：亩产增长率a=-2%，面积增长率b=10%
- 面积增长率>10%，需用精确公式
- c = -2%+10%+(-2%)×10% = 8%-0.2% = 7.8%
答案：A
【例3】反向求分量增长率
某公司2022年总收入增长12%，销量增长5%。2022年单价增长率约为：
A. 6.0% B. 6.7% C. 7.0% D. 17.0%
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解析：
- 识别：总收入 = 单价 × 销量 → 乘积关系
- 已知：总收入增长率c=12%，销量增长率b=5%，求单价增长率a
- 近似法：a ≈ c-b = 12%-5% = 7%
- 精确法：a = (1+c)/(1+b)-1 = 1.12/1.05-1 ≈ 6.67%
- 精确值6.67%更接近B选项
答案：B
【例4】土地成交额计算
2019年1-8月，房地产开发企业土地购置面积同比下降25.6%，每平方米土地价格同比上涨4.5%。土地成交额与去年同期相比增长约为：
A. -17% B. -22% C. -27% D. 1.2%
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解析：
- 识别：土地成交额 = 购置面积 × 单价 → 乘积关系
- 已知：面积增长率a=-25.6%，单价增长率b=4.5%
- 精确计算：c = -25.6%+4.5%+(-25.6%)×4.5%
- = -21.1% + (-1.15%) ≈ -22.3%
- 最接近-22%
答案：B