本节定位：平均数的增长率题目要求计算平均数的增长百分比，核心公式为：平均数增长率 = (a-b)/(1+b)。其中a为分子（总量）增长率，b为分母（份数）增长率。掌握近似公式（a-b）和特殊情况处理是关键。

一、考点识别

题目中出现以下特征时，确定为平均数增长率题：

  • "平均...比上年增长约...%"
  • "人均...同比增长/下降多少"
  • "单位...的增长率"

核心特征：求的是平均数这个指标的增长率，而非平均数本身。

二、核心公式

精确公式

平均数增长率 r = (a - b) / (1 + b)

其中：

  • a：分子（总量）的增长率
  • b：分母（份数）的增长率
  • r：平均数的增长率

近似公式

当 |b| < 5% 时，可近似为：

r ≈ a - b

记忆技巧

与基期比重/平均数公式对比记忆：

题型 公式
基期比重/平均数 (A/B) × (1+b)/(1+a)
平均数增长率 (a-b)/(1+b)

口诀：基期比重分子分母都有(1+)，平均数增长率只有分母有(1+)。

三、公式推导

设基期平均数为 x₀ = A₀/B₀，现期平均数为 x₁ = A₁/B₁

其中 A 为总量，B 为份数；a 为 A 的增长率，b 为 B 的增长率。

推导过程：

现期平均数 = A₀(1+a) / B₀(1+b) = 基期平均数 × (1+a)/(1+b)

增长率 r = 现期/基期 - 1 = (1+a)/(1+b) - 1

= [(1+a) - (1+b)] / (1+b)

= (a - b) / (1 + b)

四、秒杀技巧

技巧1：近似速算

当分母增长率 b 较小（|b| < 5%）时：

r ≈ a - b（直接用分子增速减去分母增速）

技巧2：方向判断

增长率关系 平均数变化
a > b（分子增速大） 平均数上升（r > 0）
a < b（分母增速大） 平均数下降（r < 0）
a = b 平均数不变（r = 0）

技巧3：无需原始数据

平均数增长率公式只需要两个增长率，无需知道总量和份数的具体数值。

五、例题精讲

【例1】（标准计算）

2016年某省GDP总量为1500亿元，比上年增长10%；人口数为5000万人，比上年增长2%。
问：2016年该省人均GDP比上年约增长多少？
A.7.5%　　B.7.8%　　C.8.0%　　D.8.2%
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解析：

  1. 识别题型：人均GDP增长率 → 平均数增长率
  2. 确定变量：
    • a（GDP增速）= 10%
    • b（人口增速）= 2%
  3. 套用公式：
    • r = (a - b) / (1 + b) = (10% - 2%) / (1 + 2%)
    • = 8% / 1.02 ≈ 7.84%

答案：B

【例2】（近似速算）

2020年某国GDP总量增长率为6.5%，人口总数增长率为0.8%。
问：2020年人均GDP增长率约为：
A.5.6%　　B.5.7%　　C.5.8%　　D.5.9%
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解析：

  1. 确定变量：a = 6.5%，b = 0.8%
  2. 秒杀近似（b很小）：
    • r ≈ a - b = 6.5% - 0.8% = 5.7%
  3. 精确验证：
    • r = (6.5% - 0.8%) / (1 + 0.8%) = 5.7% / 1.008 ≈ 5.65%
    • 四舍五入为5.7%

答案：B

【例3】（企业平均利润）

2019年A省规模以上工业企业利润总额增长8.2%，企业数量增长2.6%。
问：2019年该省平均每家企业利润额同比增长约百分之几？
A.5.1%　　B.5.5%　　C.5.8%　　D.6.2%
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解析：

  1. 识别题型：平均每家企业利润增长率 → 平均数增长率
  2. 确定变量：
    • a（利润增速）= 8.2%
    • b（企业数增速）= 2.6%
  3. 套用公式：
    • r = (8.2% - 2.6%) / (1 + 2.6%)
    • = 5.6% / 1.026 ≈ 5.46%

答案：B

【例4】（平均收入增长）

某企业2019年总收入增长率为8%，员工总数增长率为2%。
问：该企业2019年平均收入增长率约为：
A.5%　　B.5.5%　　C.6%　　D.6.5%
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解析：

  1. 秒杀近似（b = 2%较小）：
    • r ≈ a - b = 8% - 2% = 6%
  2. 精确计算：
    • r = (8% - 2%) / (1 + 2%) = 6% / 1.02 ≈ 5.88%
  3. 对比选项：5.88%接近6%，选C

答案：C

【例5】（平均数下降情况）

2023年某地区粮食产量增长3%，耕地面积增长8%。
问：2023年该地区单位面积粮食产量同比变化情况是：
A.增长约4.6%　　B.增长约5%　　C.下降约4.6%　　D.下降约5%
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解析：

  1. 方向判断：
    • a（产量增速）= 3%
    • b（面积增速）= 8%
    • a < b，平均数下降，排除A、B
  2. 计算幅度：
    • r = (3% - 8%) / (1 + 8%) = -5% / 1.08 ≈ -4.63%

答案：C

六、与乘积增长率的关系

乘积增长率公式

当 A = B × C 时，A的增长率：

rₐ = r_B + r_C + r_B × r_C ≈ r_B + r_C（增长率较小时）

平均数增长率的本质

平均数 = 总量/份数 = 总量 × (1/份数)

相当于乘积关系，其中 1/份数 的增长率约为 -b

所以：平均数增长率 ≈ a + (-b) = a - b

这解释了为什么近似公式是 r ≈ a - b

七、易错点提醒

1. 分子分母增长率代错

公式 r = (a-b)/(1+b) 中：

  • a：分子（总量）的增长率
  • b：分母（份数）的增长率
  • 分母是 1+b（份数增速），不是 1+a！

2. 与基期平均数公式混淆

题型 公式
基期平均数 (A/B) × (1+b)/(1+a)
平均数增长率 (a-b)/(1+b)

3. 增长率为负时

增长率为负（下降）时，代入公式要带负号。

如：产量下降5% → a = -5%

4. 何时用近似、何时用精确

  • |b| < 5%：可用近似公式 r ≈ a - b
  • |b| ≥ 5%：建议用精确公式 r = (a-b)/(1+b)

八、实战演练

【练习1】

2024年某市社会消费品零售总额增长7%，常住人口增长1%。
问：2024年该市人均社会消费品零售额同比增长约：
A.5.5%　　B.5.9%　　C.6.3%　　D.6.8%
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解析：

  1. 秒杀近似：r ≈ 7% - 1% = 6%
  2. 精确计算：r = (7%-1%)/(1+1%) = 6%/1.01 ≈ 5.94%

答案：B

【练习2】

2023年某企业产值增长12%，员工人数增长4%。
问：2023年该企业人均产值同比增长约：
A.7.2%　　B.7.7%　　C.8.0%　　D.8.5%
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解析：

  1. 套用公式：r = (12%-4%)/(1+4%) = 8%/1.04 ≈ 7.69%

答案：B

【练习3】

2022年某地区工业增加值下降2%，工业企业数量增长6%。
问：2022年平均每家工业企业的增加值同比变化情况是：
A.增长约3.8%　　B.增长约7.5%　　C.下降约3.8%　　D.下降约7.5%
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解析：

  1. 方向判断：a(-2%) < b(6%)，平均数下降，排除A、B
  2. 计算：r = (-2%-6%)/(1+6%) = -8%/1.06 ≈ -7.55%

答案：D

【练习4】

2023年某省高速公路通车里程增长15%，高速公路日均车流量增长15%。
问：2023年该省高速公路单位里程日均车流量同比增长约：
A.0%　　B.3%　　C.15%　　D.30%
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解析：

  1. 判断：a = 15%，b = 15%，a = b
  2. 结论：当分子分母增速相等时，平均数增长率 = 0

答案：A